Harmonische Approximation am Beispiel des Stangenpendels

Unter einem Stangenpendel wollen wir einen Schwinger verstehen, der aus einem punktförmigen Massenstück $m$ besteht, das an einer als masselos anzunehmenden Stange der Länge $l$ befestigt ist. Den Auslenkungswinkel aus der Vertikalen bezeichnen wir im Folgenden mit $\varphi$.

Lösung

Die Differenzialgleichung für ein Stangenpendel der Länge $l$ lautet:

$$\ddot{\varphi }=-\frac{g}{l}\cdot sin(\varphi )$$

Diese lässt sich nicht einfach lösen. Für kleine Winkel gilt die Approximation $sin(\varphi )\approx \varphi$ (Taylorentwicklung). Die Differenzialgleichung vereinfacht sich dadurch zu:

$$\ddot{\varphi }=-\frac{g}{l}\cdot \varphi$$

Nun lässt sich diese Differenzialgleichung analog zur Differenzialgleichung für das Federpendel lösen:

$$\begin{array}{ccc}\varphi (t)={\varphi }_0\cdot sin(\omega t)& & \begin{array}{l}\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}\\ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\end{array}\end{array}$$

Lösung