Harmonische Schwingungen
Harmonische Approximation am Beispiel des Stangenpendels
Unter einem Stangenpendel wollen wir einen Schwinger verstehen, der aus einem punktförmigen Massenstück besteht, das an einer als masselos anzunehmenden Stange der Länge befestigt ist. Den Auslenkungswinkel aus der Vertikalen bezeichnen wir im Folgenden mit .
Stangenpendel für kleine Auslenkungen
- Arbeitsauftrag
- Starten Sie das Stangenpendel mit verschiedenen Anfangsbedingungen!
- Kann man bei dieser Bewegung noch von einer harmonischen Schwingung sprechen?
- Versuchen Sie für ein Stangenpendel der Masse m die Bewegungsgleichung für den Auslenkungswinkel aufzustellen!
Die Differenzialgleichung für ein Stangenpendel der Länge lautet:
Diese lässt sich nicht einfach lösen. Für kleine Winkel gilt die Approximation (Taylorentwicklung). Die Differenzialgleichung vereinfacht sich dadurch zu:
Nun lässt sich diese Differenzialgleichung analog zur Differenzialgleichung für das Federpendel lösen:
Stangenpendel für große Auslenkungen
Nun soll herausgefunden werden, ab wann diese harmonische Approximation nicht mehr geeignet ist.
- Arbeitsauftrag
Untersuchen Sie die folgenden Fragestellungen!
- Wie hängt die Schwingungsdauer von der Auslenkung ab?
- Bestimmen Sie anhand des Projektes ungefähr die Auslenkung (angegeben in ), ab der die Schwingungsdauer um mehr als von der Schwingungsdauer einer noch als harmonisch bezeichenbaren Schwingung des Stangenpendels (bei ) abweicht.