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Tutorial MenueSchwingungslehreLerneinheit 6 von 7

Gekoppelte Schwingungen

Gekoppelte Pendel mit mehr als zwei Massen

Beispiel

Festkörper bestehen aus sehr vielen Molekülen, die miteinander gekoppelt sind. Dies entspricht einer Kette von n Massen, die durch lauter gleiche Federn der Stärke D verbunden sind. Auf die erste Masse m 1 wirken die gleichen Kräfte, wie auf die erste Masse bei zwei gekoppelten Massen. Die linke Feder mit der Federkonstanten D bewirkt eine rücktreibende Kraft von D x 1 auf die Masse m 1 . Die Kraft, die von der rechten Feder ausgeht, ist abhängig von deren Dehnung x 2 x 1 . Sie wirkt in entgegengesetzter Richtung und ist deshalb D ( x 2 x 1 ) . Man erhält also:

m x ¨ 1 = D x 1 + D ( x 2 x 1 ) m x ¨ 1 = 2 D x 1 + D x 2 m x ¨ 1 + 2 D x 1 D x 2 = 0

Auf jede innere Masse m i mit i 2,3,... n 1 wirken die Kräfte, die von der Dehnung der linken bzw. der Dehnung der rechten Feder abhängen:

m x ¨ i = D ( x i x i 1 ) + D ( x i + 1 x i ) m x ¨ i = D x i 1 2 D x i + D x i + 1 m x ¨ i D x i 1 + 2 D x i D x i + 1 = 0

Die Bewegungsgleichung für die letzte Masse m n erhalten wir wieder durch Vergleich mit der zweiten Masse bei dem bereits behandelten Problem zweier Massen:

m x ¨ n = D ( x n x n 1 ) D x n m x ¨ n = D x n 1 2 D x n m x ¨ n D x n 1 + 2 D x n = 0

Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich n Eigenfrequenzen ω 1 , ... ω n . Jede Normalschwingung ist durch eine Frequenz bestimmt, mit der sich alle Massen bewegen. Jede beliebige Schwingung lässt sich als Linearkombination dieser Normalschwingungen beschreiben.

( x ¨ 1 x ¨ i x ¨ n ) = ( ( 2 D m ) ( D m ) 0 0 ( D m ) ( 2 D m ) ( D m ) 0 0 0 0 ( D m ) ( 2 D m ) ( D m ) 0 0 0 0 ( D m ) ( 2 D m ) ( D m ) 0 0 ( D m ) ( 2 D m ) ) ( x 1 x i x n )
Abb.1
JPAKMA-Projekt "Gekoppeltes Pendel mit drei Massen"
Beispiel

Das CO2-Molekül ist linear. Seine Schwingungen sind beschreibbar durch ein gekoppeltes Pendel aus einer leichten Masse, einer etwas schwereren und einer zweiten leichteren Masse. Da es frei beweglich ist, sind die Federhärten der äußeren beiden Federn null.

Abb.2
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