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Geschwindigkeit

Wie entsteht eine Simulation? - Modellbildung

Ein Modell beschreibt die physikalischen Zusammenhänge

Mit Hilfe des Computers ist es möglich, den Verlauf der Bewegung eines Körpers berechnen zu lassen, wenn man die Geschwindigkeiten zu jedem Zeitpunkt vorgibt.

Dazu benötigt man ein Rechenprogramm, durch das die nötigen Berechnungen vorgenommen werden. Das Programm selbst simuliert den Vorgang, Anfangsbedingungen können noch verschieden gewählt werden. Hinter dem Programm steht die Idee, wie die verschiedenen Größen, wie z.B. Geschwindigkeit und Ort, zusammenwirken. Man spricht von einem Modell, das die physikalischen Zusammenhänge beschreiben soll.

Ort aus Geschwindigkeit berechnen

Zunächst wollen wir den eindimensionalen Fall betrachten, bei dem sich ein Körper in x-Richtung bewegt. Bei Vorgabe der Geschwindigkeit soll der Ort berechnet werden können.

Hierbei wird mit dem Konzept der Änderungen gearbeitet. Man stellt sich also die Frage: Welche Änderung ergibt sich für den Ort, wenn die Geschwindigkeit einen gewissen Betrag hat?

Bewegt sich ein Körper eine bestimmte Zeitspanne  Δ t mit einer konstanten Geschwindigkeit  v , so legt er in dieser Zeit folgenden Weg zurück:

x = v Δ t

Bei veränderlicher Geschwindigkeit müssen viele kleine Zeitintervalle betrachtet werden, in denen die Geschwindigkeit jeweils als konstant angenommen werden kann. Der zurückgelegte Weg ergibt sich dann durch Aufaddieren der Ortsänderungen in diesen Zeitintervallen. Da man alle Ortsänderungen sammelt und zusammenzählt, wird die Größe des Ortes auch Sammelgröße genannt. Somit ist der Ort eine Sammelgröße. Startet die Bewegung an einem anderen Punkt als dem Ursprung, so muss dieser als Anfangswert  x 0 ebenfalls dazuaddiert werden.

Die Vorstellung, wie die unterschiedlichen Größen zusammenwirken, wird durch die Kombination verschiedener Symbole zu einem so genannten Wirkungsgefüge graphisch dargestellt. Für unser Problem erhält man folgende Darstellung:

Geschwindigkeit aus Ort berechnen

Würde man im umgekehrten Fall die Geschwindigkeit aus dem Ort berechnen wollen, so müsste man wissen, welche Ortsänderung in einem gewissen Zeitintervall vorliegt. Man wählt dazu zwei eng beieinander liegende Zeitpunkte, die sich nur um  Δ t unterscheiden. Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich dann näherungsweise als Quotient der Ortsänderung und des Zeitintervalls  Δ t . Da für die Geschwindigkeit die Änderung des Ortes von Bedeutung ist, sagt man, der Ort sei eine Veränderungsgröße. Im Wirkungsgefüge wird das auf folgende Art repräsentiert:

JPAKMA

Das Modell, das graphisch durch ein Wirkungsgefüge repräsentiert ist, stellt aber nur die gedachten Zusammenhänge zwischen den Größen dar. Um einen Vorgang wirklich mit dem Rechner zu simulieren, ist ein Programm in einer bestimmten Programmiersprache nötig.

In unserem Fall wurde die Simulation mit JPAKMA (Java Physik aktiv messen, modellieren, analysieren, animieren) berechnet. JPAKMA enthält ein Modellbildungssystem, das ein Wirkungsgefüge, bei dem alle verwendeten Größen durch Symbole dargestellt sind, in ein ablauffähiges Kernprogramm umwandeln kann. Wechselweise lassen sich das Wirkungsgefüge, das Kernprogramm und die Simulation betrachten.

Was ist ein Wirkungsgefüge?

Ein Wirkungsgefüge ist eine ikonische Repräsentation der (vermuteten) physikalischen Zusammenhänge zwischen den einzelnen Größen. Diese werden alle durch Symbole dargestellt. Um die Abhängigkeiten zwischen ihnen zu beschreiben, wird von allen Größen A i aus, die eine gewisse Größe B beeinflussen, ein Pfeil zu  B gezeichnet. Dieser Pfeil wird dadurch beschrieben, wie die abhängige Größe  B von der unabhängigen Größe  A i vermutlich beeinflusst wird. Je nachdem welche Art von Zusammenhang besteht, kann dies durch Angabe einer Vorschrift  A i B zur direkten Berechnung geschehen oder es muss mit dem Konzept der Änderungen gearbeitet werden. Dies ist der Fall, wenn  B nicht direkt von  A i , sondern von dessen Änderung  d A i abhängt. Dann muss eine Formel  d A i d B angegeben werden, die beschreibt, welche Änderung  d B der abhängigen Größe  B man durch eine Änderung  d A i einer unabhängigen Größe  A i erwartet.

Abb.5

Wie erstellt man ein Wirkungsgefüge mit JPAKMA?

Wie wir bereits gesehen haben, gibt es verschiedene Arten von Größen, die in einem Programm vorkommen können. Man unterscheidet sie danach, ob die Größe

  • eine Konstante ist bzw. eingestellt wird,
  • selbst direkt aus anderen Größen aufgrund einer vorgegebenen Abhängigkeit berechnet werden kann,
  • sich die eigene Größenänderung aus anderen Größen ergibt
  • oder von Änderungen einer anderen Größe abhängig ist.

Zur Kennzeichnung, dass es sich um verschiedene Arten von Größen handelt, werden verschiedene Symbole verwendet.

Tab.1
GrößeBeschreibungSymbol
Konstante Größen, die einen festen Wert haben. Von diesem Symbol können Pfeile ausgehen, aber es können hier keine Pfeile enden.
Funktionsgröße Größen, die sich direkt aus anderen Größen berechnen lassen. Es muss eine Formel zur Berechnung eingegeben, sowie aller dafür nötigen Verbindungen hergestellt werden.
SammelgrößeEs werden hier die Änderungen einer Größe über die Zeitintervalle dt aufaddiert. Es muss ein Startwert und eine Formel zur Berechnung der Änderungsgröße eingegeben werden. Da zunächst die Änderungsgröße berechnet wird, zeigen die eingehenden Pfeile auf die Spritze, die die Veränderung symbolisiert. Die weggehenden Pfeile beginnen beim Quadrat, das die Sammelgröße symbolisiert, da dies die Größe ist, die für weitere Berechnungen zur Verfügung steht. Die Sammelgröße nimmt eine mathematische Integration vor, allerdings mit endlich großer Schrittweite.
VeränderungsgrößeEs werden Änderungsgrößen aus der Differenz des Momentanwertes und des Vorgängerwertes berechnet. Es muss eine Formel zur Berechnung des Momentanwertes eingegeben werden. Da zunächst eine Funktionsgröße berechnet wird, zeigen die eingehenden Pfeile auf das Funktionsgrößensymbol. Die weggehenden Pfeile beginnen beim angehängten Kästchen, das die Änderungsgröße für weitere Berechnungen zur Verfügung stellt. Es handelt sich hier um eine Differenzbildung zwischen dem aktuellen Wert und dem Vorgängerwert. Dividiert man anschließend durch den Zeitschritt dt, so erhält man einen Differenzenquotienten, dessen Grenzwert die Ableitung der Größe ist.

Um ein Symbol zu setzen, wählt man das gewünschte Symbol in der Symbolleiste aus und setzt es durch Klicken mit der Maus an die gewünschte Stelle. Um weiter arbeiten zu können, muss man auf das Pfeilsymbol klicken. Nun kann das gesetzte Symbol bearbeitet werden. Durch Doppelklicken auf das Symbol oder mit der rechte Maustaste erreicht man ein Menü, in dem man die charakteristischen Eigenschaften der Größe, wie Name, Formel, Startwert u.ä. eingeben kann. Errechnet sich eine Größe aus anderen, so muss ein Pfeil von allen Größen aus, die in der Formel zur Berechnung der neuen Größe vorkommen, zum Symbol der neuen Größe zeigen. Eine Ausnahme stellt hierbei der Zeitschritt dt dar, der für jede Berechnung zur Verfügung steht. Zum Setzen eines Pfeiles wählt man in der Symbolleiste das Wirkungsgefügesymbol aus und klickt zuerst auf das Symbol, bei dem der Pfeil starten soll und hält die Taste gedrückt bis man sich über dem Zielsymbol befindet. Nachdem ein Wirkungspfeil angelegt ist, kann man Stützpunkte setzen, um die Verbindungen übersichtlicher zu gestalten. Pfeile lassen sich auch vom Startpunkt zum Endpunkt durch permanentes Drücken der mittleren Maustaste ziehen. Wenn ein Symbol ungültig ist, weil Eingaben oder Verbindungspfeile fehlen, so wird dieses Symbol in roter Farbe dargestellt. Ist das komplette Wirkungsgefüge erstellt, kann das Kernprogramm mit Hilfe des Zahnradbuttons erzeugt werden. Jetzt können im Programm direkt noch Veränderungen vorgenommen werden. Durch Drücken des blauen Startbuttons wird schließlich das Verhalten des Systems, das sich nach den im Wirkungsgefüge aufgestellten Zusammenhängen verhält, mit JPAKMA simuliert.

Was ist der Unterschied zwischen einer Simulation und einem Modellbildungssystem?

Bei einer Simulation wird versucht, den Verlauf eines Experimentes zu berechnen. Die Abhängigkeiten sind schon vorher programmiert worden, es können nur noch die Anfangswerte variiert werden. Hingegen legt man bei einem Modellbildungssystem Wert auf die Erarbeitung der physikalischen Zusammenhänge. Erstellt man das Modell selbst, so müssen Abhängigkeiten erkannt und in das Wirkungsgefüge umgesetzt werden, aus dem dann ein ablauffähiges Programm automatisch erzeugt wird.

Was soll mit Modellbildung im Lernprozess erreicht werden?

Ziel des Lernens ist es, angemessene Vorstellungen über physikalische Abläufe aufzubauen. Dazu ist es nötig, sich über den Einfluss klar zu werden, den physikalische Größen aufeinander haben. Diese Wirkungszusammenhänge werden im Wirkungsgefüge graphisch dokumentiert, das den Kern des zu erstellenden Modells darstellt. So werden mit dem Erstellen eines Modells grundlegende Zusammenhänge sichtbar, die aus Formeln nicht sofort erkennbar sind. Bei der Modellbildung stellt man deshalb immer zuerst qualitative Überlegungen an, bevor man einen Zusammenhang anschließend quantitativ beschreibt. Grundsätzliche Zusammenhänge werden besser sichtbar als durch Formeln. Auch kann durch Modifikation des Grundmodells erkannt werden, welches allgemein gültige Prinzip hinter einer Vielzahl von Spezialfällen steht.

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