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Tutorial MenueKinematikLerneinheit 3 von 4

Geschwindigkeit

Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Ist wie bei der x-Komponente des Ballflugs die Geschwindigkeit einer Bewegung konstant, so nennt man diese eine gleichförmige Bewegung. Ein weiteres Beispiel für eine solche Bewegung haben wir bereits betrachtet: Die Kugel, die auf dem Tisch rollt.

Aus der Analyse der Bewegung ergab sich, dass der Quotient  Δ x Δ t für alle Zeitintervalle gleich ist. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also konstant. Betrachtet man den Grenzübergang  Δ t 0 , erhält man, dass sogar die Momentangeschwindigkeit konstant ist und den gleichen Wert hat, wie die Durchschnittsgeschwindigkeit:

v = d x d t
Abb.1

Wertet man diese Bewegung graphisch aus, indem man den Weg über der Zeit aufträgt, so ergibt sich eine Gerade durch den Nullpunkt, wenn der Startpunkt der Bewegung zum Zeitpunkt  t = 0 am Ort x = 0 ist.

Abb.2

Wie wir gesehen haben, ist die Momentangeschwindigkeit konstant. Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ergibt also eine horizontale Gerade.

Auch aus dieser Art der Auftragung kann man Information über den zurückgelegten Weg entnehmen. Speziell hier gilt:

v = Δ x Δ t = konstant

Durch Umstellung der Gleichung erhält man:

Δ x = v Δ t

Die Ortsänderung Δx lässt sich demnach als Produkt der beiden Größen v und Δt darstellen. Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist die Zeit nach rechts und die Geschwindigkeit nach oben aufgetragen. Deshalb entspricht das Produkt aus einem Zeitintervall und der entsprechenden Geschwindigkeit der Rechtecksfläche, die durch diese beiden Größen begrenzt wird. Die Fläche dieses Rechtecks ist also ein Maß für den zurückgelegten Weg in diesem Zeitintervall. (Vergleiche hierzu Länge, Breite und Flächeninhalt eines Rechtecks, sowie die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks!)

Im allgemeinen Fall, bei dem die Geschwindigkeit nicht konstant ist, betrachtet man ein infinitesimal kleines Zeitintervall dt. Da dieses sehr klein, aber noch ungleich Null ist, kann man analog zum gerade betrachteten Fall die Gleichung  umstellen. Man erhält d x = v d t für die Ortsänderung in diesem kleinen Zeitintervall. Um den gesamten zu einem Zeitpunkt t zurückgelegten Weg zu erhalten, muss man das gesamte Zeitintervall [t0,t] seit Beginn der Bewegung zum Zeitpunkt  t 0 bis zum betrachteten Zeitpunkt t berücksichtigen. Hierfür teilt man es in viele kleine Zeitintervalle  [ t i , t i + 1 ] auf. Nehmen wir an, es sind j Teilintervalle. Der Weg ergibt sich durch Aufsummieren der Ortsänderungen in den kleinen Zeitschritten, wobei  v i,i+1 die mittlere Geschwindigkeit im jeweiligen Zeitintervall sein soll.

x ( t j ) = i = 0 j v i,i+1 ( t i+1 t i )

Wegen der infinitesimal kleinen Zeitintervalle wird die Summe durch ein Integral ersetzt. Im Wesentlichen wird hierbei wie bei der Summe über Zeitintervalle aufsummiert, wobei diese jetzt aber beliebig klein gewählt sind.

x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t '
Hinweis
Da bei den Integrationsgrenzen bereits das Symbol t verwendet wurde, muss man zur Kennzeichnung der Zeit, über die integriert wird, ein anderes Symbol, wie z.B. t', verwenden. Man erhält also eine Stammfunktion in der Variable t'. Nach Einsetzen der Integrationsgrenzen t0 und t ist diese Hilfsbezeichnung wieder verschwunden.

Da in diesem Fall die Geschwindigkeit v konstant ist, gilt:

x ( t ) = t 0 t v ( t ' ) d t ' = v ( t t 0 )

Bei der Integration von  t 0 bis  t 1 wird über sehr schmale Flächen der Breite  d t ' summiert. Deshalb entspricht auch im allgemeinen Fall die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen zwischen den Zeitpunkten  t 0 und  t 1 dem in dieser Zeit zurückgelegten Weg.

Hätten wir das Koordinatensystem nicht so gewählt, dass sich der Körper zur Zeit  t 0 im Ursprung befindet, müssten wir noch die so genannte Anfangsbedingung x(t0) berücksichtigen.

Dann gilt:

x ( t ) x ( t 0 ) = t 0 t v d t '

also:

x ( t ) = t 0 t v d t ' + x ( t 0 ) = v ( t t 0 ) + x ( t 0 )
Hinweis
Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ergibt sich der zurückgelegte Weg aus der Fläche unter dem Graphen, denn es gilt:
x ( t ) = t 0 t v d t ' + x ( t 0 )
Im Sonderfall der gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant, für den Weg ergibt sich dann:
x ( t ) = v ( t t 0 ) + x ( t 0 )
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