zum Directory-modus

Tutorial MenueKinematikLerneinheit 4 von 4

Beschleunigung

Der allgemeine Fall - Variable Beschleunigung

Die Beschleunigung ist während eines Vorgangs nicht immer konstant. Zum Beispiel kann eine Fahrt mit der U-Bahn grob in drei Intervalle eingeteilt werden:

  • in den Beschleunigungsvorgang
  • in die Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit
  • in den Bremsvorgang an der nächsten Haltestation

Nimmt man an, dass in diesen drei Teilbereichen der Bewegung die Beschleunigung jeweils konstant ist, so lassen sich diese einzeln nach einem der zuvor aufgeführten Spezialfälle behandeln. Die nötigen Anfangsbedingungen ergeben sich dabei aus der Endgeschwindigkeit bzw. dem Ort des vorherigen Abschnitts.

Aufgabe: U-Bahnfahrt

Eine U-Bahn fährt an der Haltestation an und beschleunigt bis zur Geschwindigkeit von υ ( t1,2 ) = 20 ms-1 mit a 0,1 = 0,25 m s-2 . Dann fährt sie mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Wann muss begonnen werden, sie abzubremsen, wenn sie an der nächsten Station, die 1800 m entfernt ist, zum Stehen kommen soll? Es kann mit a 2,3 = 2 m s-2 abgebremst werden.

Lösung

Abb.1
Überlegungsskizze
1. Intervall: Beschleunigen von t0 bis t1
Die Bahn beschleunigt mit a 0,1 = 0,25 m s-2 . Sie beschleunigt bis zum Zeitpunkt t1, an dem sie dann die Fahrtgeschwindigkeit von υ ( t1,2 ) = 20 ms-1 erreicht hat. Deshalb gilt mit dem Startzeitpunkt t0 = 0 s und einer Startgeschwindigkeit υ ( t0 ) = 0 ms-1 : υ ( t1,2 ) = t0 t1 a 0,1 d t = a 0,1 ( t1 t0 ) + υ ( t0 ) = a 0,1 t1 = 20 ms-1 Somit ergibt sich der Zeitpunkt t1 zu: t1 = υ ( t1,2 ) a 0,1 = 20 ms-1 0,25 m s-2 = 80 s Bis die U-Bahn auf ihre Fahrtgeschwindigkeit beschleunigt hat, legt sie mit dem Startweg x ( t0 ) = 0 m also folgenden Weg x ( t1 ) zurück: x ( t1 ) = t0 t1 υ ( t1,2 ) d t = t0 t1 a 0,1 t1 d t = 1 2 a 0,1 t1 2 + x ( t0 ) = 1 2 0,25 m s-2 ( 80 s ) 2 = 800 m
3. Intervall: Abbremsen von t2 bis t3
Welcher Weg wird benötigt, um die U-Bahn von υ ( t1,2 ) = 20 ms-1 bei einer Verzögerung von a 2,3 = 2 m s-2 zum Stillstand zu bringen?Für die Geschwindigkeit nach diesem Intervall υ ( t3 ) ergibt sich: υ ( t3 ) = t2 t3 a 2,3 d t = a 2,3 ( t3 t2 ) + υ ( t2 ) Da die Bahn zum Zeitpunkt t3 anhalten soll, gilt die Bedingung: υ ( t3 ) = a 2,3 ( t3 t2 ) + υ ( t1,2 ) = 0 Damit lässt sich die zum Bremsen benötigte Zeit t3 t2 berechnen: t3 t2 = υ ( t1,2 ) a 2,3 = 20 ms-1 2 m s-2 = 10 s In dieser Zeit fährt die Bahn noch die Strecke x ( t3 ) x ( t2 ) weiter: x ( t3 ) x ( t2 ) = t2 t3 υ 2,3 ( t ) d t = t2 t3 ( t2 t3 a 2,3 d t ) d t = 1 2 a 2,3 ( t3 t2 ) 2 + υ 2 ( t3 t2 ) = 1 2 ( 2 m s-2 ) ( 10 s ) 2 + 20 ms-1 10 s = 100 m Dabei ist υ 2 die Geschwindigkeit der U-Bahn zum Zeitpunkt t2, also υ 2 = υ ( t2 ) .
2. Intervall: Fahren mit konstanter Geschwindigkeit von t1 bis t2
Da die beiden U-Bahnstationen 1800 m entfernt sind und beim Beschleunigen bzw. Abbremsen 800 m bzw. 100 m zurückgelegt werden, muss die Bahn im zweiten Zeitintervall noch den Weg Δ x fahren: Δ x = x ( t2 ) x ( t1 ) = x ( t3 ) ( x ( t1 ) + ( x ( t3 ) x ( t2 ) ) ) = 1800 m ( 800 m + 100 m ) = 900 m Dazu benötigt sie die Zeit Δt: Δt = t2 t1 = Δ x υ ( t1,2 ) = 900 m 20 ms-1 = 45 s Mit dem Bremsvorgang muss deshalb zu folgendem Zeitpunkt t2 begonnen werden: t2 = t1 + ( t2 t1 ) = 80 s + 45 s = 125 s

Allgemeiner Fall

Im Normalfall wird aber die U-Bahn auf ihrem Weg nicht mit konstanten Geschwindigkeiten fahren können, weil sie wegen einer Kurve oder einer Baustelle an einigen Stellen langsamer fahren muss. Auch ist die Beschleunigung während des Anfahrens und des Bremsens nicht konstant.

Arbeitsauftrag : Arbeitsauftrag 1

Starten Sie das Projekt mit der blauen Pfeiltaste. Mit dem Schieber lässt sich die Beschleunigung einstellen. Durch Drücken der Starttaste werden die Graphen gezeichnet.

Abb.2
JPAKMA-Projekt "Variable Beschleunigung"

Die Beschleunigung ist also eine Funktion der Zeit. Um die Frage nach der Geschwindigkeit und dem Ort zu beantworten, muss die Beschleunigung integriert werden. Für beliebig veränderliche Beschleunigungen muss dies nicht immer elementar möglich sein. In diesem Fall kommen wir wieder auf die vorher betrachtete Zerlegung der Bewegung in Teilintervalle zurück. Werden diese genügend klein gewählt, lässt sich die Bewegung annähernd berechnen. Diese Methode nennt man numerische Berechnung.

Arbeitsauftrag : Arbeitsauftrag 2

Lösen Sie die U-Bahn-Aufgabe anhand der Beschleunigung-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Graphen, indem Sie die Flächen unter den Graphen zur Geschwindigkeits- und Wegberechnung heranziehen!

Lösung zu Arbeitsauftrag 2

Seite 13 von 22