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Tutorial MenueKinematikLerneinheit 4 von 4

Beschleunigung

Alles dreht sich - Die Kreisbewegung

Abb.1

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant. Deshalb ist die Tangentialkomponente der Beschleunigung a t = 0.

Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich. Da die Krümmung einer Kreislinie an jeder Stelle gleich ist, ist der Betrag der Normalkomponente der Beschleunigung | a n | konstant. Der Vektor selbst ändert sich aber, weil er ja immer senkrecht zur Bahnkurve orientiert ist.

Arbeitsauftrag

Aufgabe: Wie sehen die Komponenten der Beschleunigung aus, wenn die Kreisbahn nicht mit konstanter Bahngeschwindigkeit durchlaufen wird?

Lösung

Welche Größen charakterisieren eine Kreisbewegung?

Eine gleichförmige Kreisbewegung ist zwar durch die Angabe der beiden Beschleunigungskomponenten und einer Anfangsgeschwindigkeit sowie dem Anfangsort vollständig beschrieben. Manchmal ist es aber anschaulicher, die Bewegung mit Hilfe von Ortskoordinaten zu beschreiben. Bei diesem Versuch ergeben sich speziell für die Kreisbewegung neue Größen, mit denen sie beschrieben werden kann.

Der Winkel

Man betrachtet ein Koordinatensystem, bei dem der Koordinatenursprung im Mittelpunkt des Kreises liegt, um den die Drehung erfolgt.

Der Ortsvektor r ( t ) ändert bei der Bewegung nur seine Richtung, der Betrag bleibt fest. Somit ist der Ort durch Angabe vom Radius r0 des Kreises und dem Winkel ϕ ( t ) relativ zur x-Achse vollständig beschrieben. Im Allgemeinen wird der Winkel im Bogenmaß angegeben. Eine volle Umdrehung sind also 2 π .

Abb.2

Mit Hilfe des Winkels ϕ ( t ) ergibt sich mit r0=konstant für die Bahnkurve:

r ( t ) = r0 ( cos ( ϕ ( t ) ) sin ( ϕ ( t ) ) )

Die Winkelgeschwindigkeit

Für die Geschwindigkeit v ( t ) auf der Kreisbahn ergibt sich durch Differenzieren, wobei die Kettenregel angewendet wird, die so genannte Bahngeschwindigkeit zu:

v ( t ) = d r ( t ) d t = r0 ( sin ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t cos ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t ) = r0 d ϕ ( t ) d t ( sin ( ϕ ( t ) ) cos ( ϕ ( t ) ) )

Man nennt den Quotienten aus der zeitlichen Änderung des Winkels und der dafür benötigten Zeit die Winkelgeschwindigkeit. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit

ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t

gibt an, wie schnell die Drehung erfolgt. In der Ebene bestimmt das Vorzeichen die Drehrichtung, im dreidimensionalen Raum dagegen ist durch den Betrag noch nicht festgelegt, um welche Achse und in welche Richtung sich der Körper momentan dreht. Deshalb schreibt man die Winkelgeschwindigkeit auch als axialen Vektor, dessen Länge angibt, wie schnell sich der Winkel ändert. Die Richtung bestimmt die Drehebene und den Drehsinn.

Die Winkelgeschwindigkeit steht immer senkrecht auf der Drehebene. Der Drehsinn lässt sich mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel bestimmen. Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Winkelgeschwindigkeit, so zeigen die gekrümmten anderen Finger in die Richtung der Bewegung. Es gilt:

v ( t ) = ω ( t ) × r ( t )

Die Winkelgeschwindigkeit steht also immer senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit und dem Ortsvektor.

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit ω ( t ) = konstant. In diesem Fall wird die Winkelgeschwindigkeit auch Kreisfrequenz genannt.

Die Winkelbeschleunigung

Für die Beschleunigung a ( t ) ergibt sich mit Hilfe der Produktregel der Differentiation:

a ( t ) = d v ( t ) d t = d d t ( r0 ω ( t ) . ( sin ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t cos ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t ) ) = = r0 ω ( t ) ( cos ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t sin ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t ) + r0 d ω ( t ) d t ( sin ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t cos ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t ) = = r0 ω ( t ) 2 ( cos ( ϕ ( t ) ) sin ( ϕ ( t ) ) ) + r0 d ω ( t ) d t ( sin ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t cos ( ϕ ( t ) ) d ϕ ( t ) d t )

Sie setzt sich aus zwei Komponenten zusammen.

Der zweite Summand enthält die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit, die so genannte Winkelbeschleunigung:

α ( t ) = d ω ( t ) d t = d d t ( d ϕ ( t ) d t ) = d 2 ϕ ( t ) d t 2

Daraus ergibt sich die Tangentialbeschleunigung:

a T ( t ) = r0 α ( t ) ( sin ( ϕ ( t ) ) cos ( ϕ ( t ) ) )

Da α eine Änderung des Betrags der Geschwindigkeit hervorruft, ist in unserem Fall der gleichförmigen Kreisbewegung die Winkelbeschleunigung Null.

Für die gleichförmige Kreisbewegung gilt also wegen ω ( t ) = konstant:

a gleichförmig ( t ) = a N ( t ) = r0 ω ( t ) 2 ( cos ( ϕ ( t ) ) sin ( ϕ ( t ) ) ) = ω ( t ) 2 r ( t )

Der erste Summand in ist die Normalkomponente der Beschleunigung. Er verursacht eine Änderung der Richtung der Geschwindigkeit und ist somit dafür verantwortlich, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt, und nicht tangential wegfliegt. Man nennt diesen Anteil die Zentripetalbeschleunigung a z .

Die Zentripetalbeschleunigung zeigt immer in Richtung des Kreismittelpunktes und kann im dreidimensionalen Raum mit Hilfe des Vektorprodukts auch auf die folgende Art berechnet werden:

a z ( t ) = ω ( t ) × v ( t ) = ω ( t ) × ( ω ( t ) × r ( t ) ) = | ω ( t ) | 2 r ( t )

(Die Herleitung dieser Formel muss im Rahmen dieses Lehrgangs nicht verstanden werden. Es genügt das Ergebnis zu kennen.)

Vergleich: Kreisbewegung - lineare Bewegung

Eine lineare Bewegung kann durch Angabe von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung charakterisiert werden. Eine Kreisbewegung wird dagegen meist durch die Angabe von Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung beschrieben. Beide Arten der Beschreibung beruhen auf der Angabe des Ortes, der Veränderung dieses Ortes und der Änderung dieser Veränderung. Deshalb gibt es zu jeder Größe, mit der man eine Kreisbewegung beschreibt, eine analoge Größe unter den im Allgemeinen zur Beschreibung von linearen Bewegungen verwendeten Größen.

Tab.1
Vergleich "lineare Bewegung" und "Kreisbewegung"
BeschreibungGröße der linearen BewegungGröße der KreisbewegungBeschreibung
Ort r ( t ) ϕ ( t ) Winkel
Bahngeschwindigkeit v ( t ) = d r ( t ) d t ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t Winkelgeschwindigkeit
Bahnbeschleunigung a ( t ) = d v ( t ) d t = d 2 r ( t ) d t 2 α ( t ) = d ω ( t ) d t = d 2 ϕ ( t ) d t 2 Winkelbeschleunigung

Beispiel:

Betrachten wir nun die Spitze des Minutenzeigers bei einer Uhr.

Der Zeiger bewegt sich gleichförmig auf einer Kreisbahn. Da er in einer Stunde, also in 3600 s, eine volle Umdrehung zurücklegt, gilt:

ϕ ( t ) = 2 π 3600 s t

Für die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich:

ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t = 2 π 3600 s

Die Winkelbeschleunigung ist wie bei jeder gleichförmigen Kreisbewegung:

α ( t ) = d ω ( t ) d t = d 2 ϕ ( t ) d t 2 = 0 s 2

Für die Zentripetalbeschleunigung gilt bei einem Radius r0, der der Länge des Zeigers entspricht:

| a z ( t ) | = ω ( t ) 2 r0 = 4 π 2 r0 ( 3600 s ) 2

Die UmlaufzeitBei der Kreisbewegung gibt es weitere charakteristische Größen. So gibt man die Zeit, in der genau eine Umdrehung vollzogen wird, durch die Umlaufzeit T an. Im Beispiel des Minutenzeigers ist:

T = 3600 s

Die FrequenzAndersherum kann man sich auch die Frage stellen, wie viele Umläufe in einer Zeiteinheit vollzogen werden. Dies wird durch die Frequenz f ausgedrückt. Unser Minutenzeiger hat eine Frequenz von:

f = 1 3600 s 0,000278 s 1

Somit ist die Umlaufzeit der Kehrwert der Frequenz und umgekehrt. Die Einheit der Frequenz ist s-1 oder auch Hertz, abgekürzt durch Hz.

Da es sich hier um eine gleichförmige Kreisbewegung handelt, hängen Frequenz und Kreisfrequenz über ω = 2 π f zusammen.

Hinweis
Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894)
Im Jahre 1886 machte der deutsche Physikprofessor Heinrich Hertz mit einer einfachen Versuchsanordnung eine zufällige Beobachtung:
Bei einer Entladung eines Kondensators über eine Funkenstrecke einer spiralförmigen Spule kann auch an einer benachbarten Spule ein Funke erzeugt werden. Damit machte er eine Entdeckung, die Maxwell bereits theoretisch vorausgesagt hatte: Eine schwingende elektromagnetische Störung (z.B. Funkenentladung) erzeugt elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Daraufhin begann Hertz die Eigenschaften der elektromagnetischen Wellen zu erforschen. Er untersuchte Geschwindigkeit, Reflexion, Brechung und Polarisation der Wellen. Er fand heraus, dass sich die Wellen im leeren Raum mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiteten können, und bestätigte die Wesensgleichheit mit dem Licht auch in Bezug auf die anderen untersuchten Eigenschaften.
Seine Experimente mit diesen Wellen bildeten später die Grundlage für die Entwicklung des drahtlosen Telegraphen, des Radios, des Fernsehers und noch vielem mehr.

Der Krümmungsradius

Jede allgemeine krummlinige Bewegung kann abschnittsweise als ein Stück einer Kreisbewegung betrachtet werden, indem man einen Kreis so an die Bahn zeichnet, dass sich Kreis und Bahnkurve ein kleines Stück weit decken. Je stärker die Bahn an der jeweiligen Stelle gekrümmt ist, desto kleiner ist der Radius des benötigten Kreises. Damit ergibt sich die Möglichkeit einer Charakterisierung der Krümmung einer Bahnkurve. Man nennt diese Größe den Krümmungsradius in einem bestimmten Punkt der Kurve.

Abb.3

Fazit

Kreisbewegungen lassen sich mit Hilfe vom Winkel ϕ ( t ) , der Winkelgeschwindigkeit

ω ( t ) = d ϕ ( t ) d t

und der Winkelbeschleunigung

α ( t ) = d 2 ϕ ( t ) d t 2

beschreiben.

Die Zentripetalbeschleunigung

a z ( t ) = ω ( t ) 2 r ( t )

zeigt immer in Richtung des Kreismittelpunktes und ist dafür verantwortlich, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt.

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Winkelbeschleunigung Null, die Winkelgeschwindigkeit also konstant. Weitere charakteristische Größen der gleichförmigen Kreisbewegung sind die Umlaufzeit T , die Frequenz f = 1 / T und die Kreisfrequenz ω = 2 π f .

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