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Tutorial MenueKinematikLerneinheit 4 von 4

Beschleunigung

Exkurs

Alternative Beschreibung einer Bewegung in der Ebene: Polarkoordinaten

Bisher wurde eine Bewegung in der Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben. Dazu ist nötig, einen Koordinatenursprung und zwei ausgezeichnete Richtungen, die Koordinatenachsen, festzulegen. Punkte der Ebene werden dadurch angegeben, dass man die Abstände der Projektionen des Punktes auf die Koordinatenachsen angibt.

Die Kreisbewegung wurde durch Mittelpunkt und Radius r0 des Kreises sowie dem gerade aktuellen Winkel ϕ ( t ) beschrieben. Lässt man zu, dass sich der Radius mit der Zeit ändert, kann man jede beliebige Bewegung in der Ebene durch Angabe des Abstandes vom Ursprung r0(t) und des Winkels ϕ ( t ) zur positiven x-Achse beschreiben. Diese Darstellung nennt man Polarkoordinaten.

Abb.1

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten erhält man:

r0 ( t ) = [ x ( t ) 2 + y ( t ) 2 ] 1 / 2 ϕ ( t ) = arctan ( y ( t ) x ( t ) )

Umgekehrt berechnen sich die kartesischen Koordinaten aus den Polarkoordinaten durch:

x ( t ) = r0 ( t ) cos ( ϕ ( t ) ) y ( t ) = r0 ( t ) sin ( ϕ ( t ) )

Alternative Beschreibung einer Bewegung im Raum: Kugelkoordinaten

Mit einem zusätzlichen Winkel kann der dreidimensionale Fall beschrieben werden. Man erhält die so genannten Kugelkoordinaten. Die drei Raumkoordinaten sind r0(t), ϕ ( t ) und ϑ ( t ) , wobei r0(t) dem Abstand des Punktes vom Ursprung entspricht, ϕ ( t ) den Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Projektion auf die x-y-Ebene angibt (Längengrade ohne Ost-West Unterscheidung) und ϑ ( t ) den Winkel zwischen der positiven z-Achse und der Verbindungslinie vom Ursprung zum Punkt beschreibt (Breitengrade vom Pol aus gezählt).

Abb.2

Für die Umrechnung ergibt sich:

r0 ( t ) = [ x ( t ) 2 + y ( t ) 2 + z ( t ) 2 ] 1 / 2 ϕ ( t ) = arctan ( y ( t ) x ( t ) ) ϑ ( t ) = arccos ( z ( t ) [ x ( t ) 2 + y ( t ) 2 + z ( t ) 2 ] 1 / 2 )

bzw.:

x ( t ) = r0 ( t ) sin ( ϑ ) cos ( ϕ ) y ( t ) = r0 ( t ) sin ( ϑ ) sin ( ϕ ) z ( t ) = r0 ( t ) cos ( ϑ )
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