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Beschleunigung

Richtungs- und Tempoänderung - Komponenten der Beschleunigung

Der Beschleunigungsvektor gibt Auskunft über die Änderung der Geschwindigkeit. Ist er gleich dem Nullvektor, so bleibt die Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung gleich. Es ergibt sich also eine geradlinig gleichförmige Bewegung. Ist der Beschleunigungsvektor von Null verschieden, so ruft er, je nachdem in welche Richtung er zeigt, eine Änderung der Geschwindigkeit nach dem Betrag und/oder nach der Richtung hervor.

Tangentialbeschleunigung

Ist der Beschleunigungsvektor parallel oder antiparallel zum Geschwindigkeitsvektor, so bewegt sich der Gegenstand in die gleiche Richtung immer schneller bzw. langsamer fort. Im letzteren Fall kann es dazu kommen, dass der Gegenstand zur Ruhe kommt, um sich dann in entgegengesetzter Richtung weiter fortzubewegen. Dies führt dazu, dass der Beschleunigungsvektor wieder parallel zum Geschwindigkeitsvektor ist und der Gegenstand wieder schneller wird.

Abb.1

Normalbeschleunigung

Steht der Beschleunigungsvektor senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor, so ändert sich nur die Richtung der Geschwindigkeit und ihr Betrag bleibt erhalten. Das bedeutet also, dass sich die Richtung der Bewegung ändert und somit die Bahnkurve gekrümmt ist, sich der Gegenstand aber mit konstanter Bahngeschwindigkeit bewegt.

Nach Definition der Beschleunigung ergibt sich der neue Geschwindigkeitsvektor aus dem alten Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigung zu:

υ ( t 2 ) = υ ( t 1 ) + a ¯ ( t 2 t 1 )
Abb.2

Da der Beschleunigungsvektor senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, sollte der neue Geschwindigkeitsvektor den gleichen Betrag und unterschiedliche Richtung zum alten Geschwindigkeitsvektor haben. Man sieht aber, dass in der Zeichnung der neue Geschwindigkeitsvektor länger als der alte ist (was sich auch aus dem Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke ergeben würde). Dies liegt daran, dass wir mit der mittleren Beschleunigung in einem Zeitintervall t 2 t 1 gerechnet haben. Für immer kleiner werdendes Zeitintervall wird der Längenunterschied der beiden Geschwindigkeitsvektoren immer kleiner, bis schließlich für ein infinitesimales Zeitintervall beide die gleiche Länge haben. Somit stimmt die Aussage, dass sich nur die Richtung der Geschwindigkeit ändert, wenn der Beschleunigungsvektor senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht.

Abb.3

Zerlegung des Beschleunigunsvektors in Tangential- und Normalkomponente

Im Allgemeinen nimmt der Beschleunigungsvektor aber nicht eine dieser beiden ausgezeichneten Richtungen ein. Das bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit nach Richtung und Betrag ändert. Es ergibt sich also eine krummlinige Bewegung mit nicht konstanter Bahngeschwindigkeit, eine allgemeine krummlinige Bewegung.

In diesem Fall lässt sich aber der Beschleunigungsvektor in zwei Vektoren zerlegen, wobei der eine in Richtung des Geschwindigkeitsvektors zeigt und der andere senkrecht auf ihm steht. Man spricht deshalb auch von der Tangentialkomponente a t bzw. von der Normalkomponente a n des Beschleunigungsvektors.

Abb.4

Die Komponentenzerlegung eines Vektors lässt sich auch mathematisch beschreiben.

Hinweis
Um bestimmte Richtungen auszuzeichnen, verwendet man in der Mathematik so genannte Einheitsvektoren. Diese zeigen in die zu beschreibende Richtung und haben die Länge 1. Multipliziert man nun einen beliebigen Vektor mit einem Einheitsvektor, so erhält man eine Zahl, die angibt, wie lang die Projektion des ursprünglichen Vektors auf diese ausgezeichnete Richtung ist. Um die Komponente des Vektors zu erhalten, die in diese Richtung zeigt, muss nochmals mit dem Einheitsvektor multipliziert werden. Da der Einheitsvektor die Länge 1 hat, wird hierbei nichts an der Länge der Projektion verändert.

Für die Tangentialkomponente der Beschleunigung a t gilt, wobei et der Einheitsvektor an den jeweiligen Bahnpunkt in Richtung der Bahn ist:

a t = ( d v d t e t ) e t

Es gilt also a t || υ . Die Tangentialkomponente der Beschleunigung gibt die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit an.

Für die Normalkomponente der Beschleunigung a n gilt, wobei e n der Einheitsnormalenvektor an den jeweiligen Bahnpunkt ist:

a n = ( d υ d t e n ) e n

Es gilt also a n υ . Die Normalkomponente der Beschleunigung gibt die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit an, ist also für die Krümmung der Bahn verantwortlich.

Insgesamt folgt:

a = a t + a n = ( d υ d t e t ) e t + ( d υ d t e n ) e n
Arbeitsauftrag

  • Stellen Sie die Eigenschaften der PC-Maus so ein, dass bei der Bewegung die Beschleunigung linear gemessen wird, indem Sie z.B. bei Windows in der Systemsteuerung die Einstellung Maus/Bewegung/Beschleunigung/keine und Maus/Bewegung/Geschwindigkeit/langsam vornehmen. Führen Sie bei allen Messungen die Maus so, dass sie immer die gleiche räumliche Ausrichtung auf dem Tisch hat.
  • Schauen Sie sich die beiden Komponenten der Beschleunigung bei verschiedenen Bewegungen an!
  • Überlegen Sie, wie Sie die Maus bewegen müssen, damit die Beschleunigung, ihre Normalkomponente oder ihre Tangentialkomponente Null ist, und testen Sie anschließend Ihre Vorhersagen.

Starten Sie das Projekt mit der blauen Pfeiltaste. Wenn Sie nun die Maus innerhalb des PAKMA-Fensters bewegen, werden die roten Beschleunigungsvektoren in Normal- und Tangentialkomponente zerlegt.

Abb.5
JPAKMA-Projekt "Zerlegung des Beschleunigungsvektors"

Hinweis
Der Beschleunigungsvektor lässt sich in zwei Komponenten zerlegen.
Die Tangentialkomponente der Beschleunigung ruft eine Änderung des Betrages der Geschwindigkeit hervor.
a t = ( d v d t e t ) e t
Die Normalkomponente der Beschleunigung gibt die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit an.
a n = ( d v d t e n ) e n
Ist die Normalkomponente Null, so handelt es sich um eine geradlinige Bewegung, ist die Tangentialkomponente Null, so ändert sich die Bahngeschwindigkeit nicht.
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