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Beschleunigung

Von Null auf Hundert - Definition des Beschleunigungsvektors

Wir haben gesehen, dass der Geschwindigkeitsvektor v nicht immer konstant ist, und dass es einen Unterschied macht, in welchem Zeitintervall man die Änderung der Geschwindigkeit betrachtet. Deshalb ist es sinnvoll - wie bei der Definition der Geschwindigkeit auch - die Änderung der Geschwindigkeit bezüglich des betrachteten Zeitintervalls zu normieren. Man möchte also wieder wissen, welche Geschwindigkeitsänderung sich innerhalb einer Sekunde ergeben würde, wenn sich die Geschwindigkeit gleichmäßig ändert. Dazu wird der Vektor der Geschwindigkeitsänderung durch das betrachtete Zeitintervall dividiert. Diese Änderung, die sich innerhalb des Standardzeitintervalls ergeben würde, nennt man die Beschleunigung a. Analog zur Definition der mittleren Geschwindigkeit ergibt sich bei Betrachtung eines Zeitintervalls  Δ t die mittlere Beschleunigung, die auch Durchschnittsbeschleunigung genannt wird:

a ¯ = v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = Δ v Δ t
Abb.1
Warnung
Oft spricht man auch von der Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Dabei ist zu beachten, ob man damit eine Geschwindigkeitsänderung meint, von der man nur zusätzlich angeben möchte, in welchem Zeitintervall sie stattfindet, oder ob das "pro" eine Division ausdrücken soll, also Δ v dividiert durch Δ t . Im letzteren Fall erhält man eine mittlere Beschleunigung, wie man auch an der Einheit erkennen kann. Denn die Geschindigkeitsänderung hat die gleiche Einheit wie eine Geschwindigkeit, nämlich  ms-1 . Wird aber zusätzlich noch durch das betrachtete Zeitintervall dividiert, so erhält man als Einheit ms-2.

Die SI-Einheit der Beschleunigung ist Meter durch (Sekunde zum Quadrat). Da diese Einheit dadurch zustande kommt, dass die Geschwindigkeitsänderung Δ v mit der Einheit  ms-1 durch das betrachtete Zeitintervall Δ t dividiert wird, müsste es eigentlich (Meter durch Sekunde) durch Sekunde heißen.

Durch Grenzübergang, bei dem man Δ t gegen Null gehen lässt, was t 2 t 1 entspricht, ergibt sich die Momentanbeschleunigung a (im weiteren nur noch Beschleunigung genannt) als 1. Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit:

a = lim t 2 t 1 v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = d v d t = d d t ( d r d t ) = d 2 r d t 2

Da der Geschwindigkeitsvektor bereits die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, erhält man den Beschleunigungsvektor auch aus der zweimal hintereinander ausgeführten Ableitung des Weges nach der Zeit, also der 2. Ableitung der Zeit-Weg-Funktion.

Wie bei der Geschwindigkeit auch lassen sich tatsächlich immer nur mittlere Beschleunigungen messen. Betrachtet man allerdings genügend kleine Zeitintervalle, so kann näherungsweise von der Momentanbeschleunigung gesprochen werden.

Wieder zeigt der Beschleunigungsvektor näherungsweise in die Richtung des Differenzvektors zweier Geschwindigkeiten. Der Beschleunigungsvektor ist immer dann ungleich Null, wenn sich der Geschwindigkeitsvektor in irgendeiner Weise ändert.

Hinweis
Man erhält die mittlere Beschleunigung, indem man den Geschwindigkeitsänderungsvektor durch das zugehörige Zeitintervall dividiert.
a ¯ = v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = Δ v Δ t
Um zur Momentanbeschleunigung zu gelangen, muss man das Zeitintervall gegen Null gehen lassen.
a = lim t 2 t 1 v ( t 2 ) v ( t 1 ) t 2 t 1 = d v d t = d d t ( d r d t ) = d 2 r d t 2
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