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Tutorial MenueAtombauLerneinheit 7 von 8

Wellenmechanisches Atommodell für das Wasserstoff-Atom

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Für stehende Wellen ist die Amplitude zeitunabhängig. Sie hängt nur noch von Ort (x, y, z) ab. Sie können durch die trigonometrische Funktion:

u (x,y,z,t) = ψ (x,y,z) sin (2π⋅ν⋅t)

beschrieben werden, wobei

ψ ( x,y,z )

die von der Zeit unabhängige Amplitude bedeutet. Wir leiten diese Funktion zweimal partiell nach jeder Variablen ab:

( 2 u x 2 ) y , z , t = ( 2 ψ x 2 ) sin ( 2 π ν t ) ( 2 u y 2 ) x , z , t = ( 2 ψ y 2 ) sin ( 2 π ν t ) ( 2 u z 2 ) x , y , t = ( 2 ψ z 2 ) sin ( 2 π ν t ) ( 2 u t 2 ) x , y , z = ψ 2 [ sin ( 2 π ν t ) ] t 2 = 4 π 2 ν 2 ψ sin ( 2 π ν t )

und setzen die erhaltenen Ausdrücke in die Wellengleichung ein:

( 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 ) sin ( 2 π ν t ) = 4 π 2 ν 2 v 2 ψ sin ( 2 π ν t ) 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 + 4 π 2 ν 2 v 2 ψ = 0

Nun gilt nach de Broglie:

λ M = h m v = v ν ν 2 v 2 = m 2 v 2 h 2

Diesen Ausdruck können wir in die Wellengleichung einsetzen:

2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 + 4 π 2 m 2 v 2 h 2 ψ = 0

Für v 2 können wir schließlich 2 · E kin einsetzen. Für die kinetische Energie gilt:

E kin = E gesamt E pot

Durch einsetzen in die Wellengleichung ergibt sich:

2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 + 8 π 2 m h 2 ( E gesamt E pot ) ψ = 0 E gesamt E E pot U

Wenn man mit E die Gesamtenergie und mit U die potentielle Energie bezeichnet, erhält man:

2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 + 8 π 2 m h 2 ( E U ) ψ = 0
x,y,z : Raumkoordinaten m : Masse des Teilchens E : Gesamtenergie U : potentielle Energie h : Plancksches Wirkungsquantum ψ : Wellenfunktion (entspricht der Amplitude bei Transversalwellen)

Dies ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Sie beschreibt dreidimensionale Materiewellen in atomaren Systemen. Für die Chemie ist sie für das Verhalten der Elektronen im Atom von Interesse. Lösungen der Schrödinger-Gleichung entsprechen den stationären Zuständen des Systems (Eigenwerte).

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