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Tutorial MenueAtombauLerneinheit 7 von 8

Wellenmechanisches Atommodell für das Wasserstoff-Atom

Allgemeine Beschreibung von Wellen

Die Abbildung zeigt eine Schwingung mit ihren üblichen Bezeichnungen.

Abb.1
Allgemeine Schwingung mit ihren Bezeichnungen

Die Größe u ist die Elongation (Auslenkung) und ist im Allgemeinfall sowohl vom Ort x als auch von der Zeit t abhängig. Der Maximalwert der Elongation heißt Amplitude A.

Harmonische Schwingungen sind solche, die in Systemen auftreten, für die das Hooke'sche Gesetz gilt:

Hinweis
Die rücktreibende Kraft ist proportional der Elongation (Auslenkung aus der Ruhelage):
F = konst u

Schwingungen in elastischen Systemen pflanzen sich räumlich fort (v = Fortpflanzungsgeschwindigkeit). Die Elongation u ist deshalb eine Funktion des Ortes und der Zeit.

eindimensionaler Fall : u = u ( x,t ) zweidimensionaler Fall : u = u ( x,y,t ) dreidimensionaler Fall : u = u ( x,y,z,t )
Abb.2

Harmonische Wellen können mathematisch mittels der Schwingungsgleichung beschrieben werden. Im eindimensionalen Fall gilt:

( 2 u x 2 ) = 1 v 2 ( 2 u t 2 )

Lösungen dieser Differentialgleichung sind alle Funktionen u(x,t), die die Differentialgleichung erfüllen. Zum Beispiel ist

u = A e i ω ¯ ( t- x v )

eine solche Lösung. Sie stellt die Gleichung einer harmonischen Welle mit der Amplitude A, der Kreisfrequenz ω und der Fortpflanzungsgeschwindigkeit v dar.

Für Schwingungen von zweidimensionalen Systemen (Flächenwellen) gilt entsprechend für die zwei Ortskoordinaten x, y;

( 2 u x 2 ) y + ( 2 u y 2 ) x = 1 v 2 ( 2 u t 2 )

und für die dreidimensionalen Systeme (Raumwellen, Kugelwellen):

( 2 u x 2 ) y , z + ( 2 u y 2 ) x , z + ( 2 u z 2 ) x , y = 1 v 2 ( 2 u t 2 )
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