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De Broglie und Heisenberg

Unschärfebeziehung

Ein zweiter Grund, vom einfachen Modell des kreisenden Elektrons Abstand zu nehmen, war die Formulierung der Unschärfebeziehung (Unschärferelation, Unbestimmtheitsbeziehung) durch Heisenberg im Jahr 1927. Nach Heisenberg ist es unmöglich, gleichzeitig den Ort und die Geschwindigkeit (oder den Impuls) eines Teilchens beliebig genau zu bestimmen. Das soll an einem Gedankenexperiment erläutert werden:

Der Ort eines Elektrons soll mittels einer mikroskopischen Methode möglichst genau bestimmt werden. Um ein derart kleines Teilchen zu beobachten, würde man Licht mit sehr geringer Wellenlänge benötigen. Ein Photon dieser Strahlung wäre also sehr energiereich und würde beim Zusammenstoß mit dem Elektron den Impuls (Geschwindigkeit) bezüglich Betrag und Richtung in unkontrollierbarer Weise verändern, das heißt die hohe Genauigkeit der Ortsbestimmung hätte eine hohe Unsicherheit des Impulses zur Folge. Photonen größerer Wellenlänge und damit niedrigerer Energie hätten einen geringeren Einfluss auf den Impuls des Elektrons, aber die Genauigkeit der Ortsbestimmung würde gleichzeitig sinken.

Die mathematische Formulierung der Heisenbergschen Unschärfebeziehung lautet:

Δx Δ(m v) λ h λ h    bzw.    Δx Δp h

Die Ortsunbestimmtheit Δx liegt in der Größenordung der Wellenlänge des zur Beobachtung verwendeten Lichts. Der Ausdruck m⋅v=h/λ stammt aus der De Broglie-Beziehung λ=h/m·v. Die obige Formulierung bezieht sich auf die maximale Unbestimmtheit. Manchmal wird auch der Wert h/2π für die mittlere oder h/4π für die wahrscheinlichste Unbestimmtheit angegeben.

Die Konsequenzen für das Bohrsche Atommodell sind leicht einzusehen. Das Modell kann nicht vollständig richtig sein, denn es macht gleichzeitig zu exakte Angaben über Ort (Bahn) und Geschwindigkeit des Elektrons. Dies sei am Beispiel des Elektrons auf der K-Schale des Wasserstoffatoms verdeutlicht:

Masse des Elektrons: m = 9.1 10 -31 kg Geschwindigkeit: v K = 2,2 10 6 m / s

Der Wert für v K sei mit 1% Unsicherheit oder 99% Genauigkeit bekannt, das heißt:

Δ v K 2.2 10 4 m / s Δ x h m Δ v K Δ x 6,6 10 34 kg m 2 s -1 9,1 10 -31 kg 2 .2 10 4 m s -1 0,3 10 -7 m

Der Radius der K-Schale beträgt nach Bohr 0,53 ⋅ 10-10 m. Die Ortsunbestimmtheit Δx ist jedoch etwa fünfhundert mal so groß. Eine Ortsangabe mit der Genauigkeit der Bohrschen Theorie ist also nicht zulässig.

Die Unschärfebeziehung zeigt, dass man den Aufenthaltsort eines Elektrons nur mit einer gewissen Unsicherheit oder - positiv ausgedrückt - mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angeben kann. Man veranschaulicht diese Wahrscheinlichkeitsverteilung als in bestimmter Weise über das Atom verteilte Wolke und spricht dann auch von Elektronenwolke oder Ladungswolke. Gelegentlich liest man sogar so bildhafte Formulierungen wie die, das Elektron sei über den Raum verschmiert. So anschaulich dies klingen mag, so sehr sollte man sich darüber im Klaren sein, dass das Elektron letztlich ein Teilchen und die ihm zugeschriebene Wellennatur nur eine mathematische Methode ist, sein unstetiges Verhalten zu beschreiben.

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