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Tutorial MenueAtombauLerneinheit 4 von 8

Bohr'sches Atommodell

Bohr'sche Bahnradien

Mit Hilfe dieser Postulate lassen sich die Gesamtenergie des Wasserstoffatoms und - da sich nach dem Bohr'schen Modell das Elektron auf einer Kreisbahn bewegt - auch der klassische Bahnradius des Elektrons berechnen.

Abb.1
Bohr'sche Bahnradien

Das Elektron rotiert um den Atomkern. Die elektrische Anziehung des Atomkerns sorgt dafür, dass das Elektron auf seiner Bahn bleibt. (Proportionen sind in der Skizze aus Gründen der Übersichtlichkeit stark verzerrt.)

Nach dem 1. Postulat gilt: | L | = | r × p | = r m e v = n , also folgt für die Bahngeschwindigkeit v v = n r m e .

m e ist die Masse des Elektrons und r der Abstand des Elektrons vom Atomkern.

Damit das Elektron auf seiner angenommenen Kreisbahn bleibt, muss es einer Zentripetalkraft unterliegen. Diese wird durch die elektrostatische Anziehungskraft des Protons auf den Kern aufgebracht. Befindet sich das Elektron also "im Orbit", so gelten dafür die Gesetze der klassischen Physik: m e v 2 r = 1 4 π ε 0 Z e 2 r 2 . Einsetzen von v liefert: r n = 4 π ε 0 Z e 2 n 2 2 m e mit n = 1 , 2,... als Bohr'sche Radien r n . Z ist die Ordnungszahl.

Die Bahnradien für das Einelektronensystem nach Bohr
Aus den Bohr'schen Postulaten ergibt sich für die Bahnradien der folgende Zusammenhang: r n = 4 π ε 0 Z e 2 n 2 2 m e mit n = 1 , 2,...

Der Radius der Kreisbahn nimmt quadratisch mit n zu. Es gibt also im Bohr'schen Modell zwar eine untere aber keine obere Grenze für den Atomradius.

Beispiel

Für Z =1 (Wasserstoffkern/Proton) und n = 1 folgt r 1 = a 0 = 0,529 10 - 10 m = 0,529 Å

Der Radius der ersten Bohr'schen Bahn wird häufig mit a 0 oder r H abgekürzt.

Arbeitsauftrag

Berechnen Sie die Geschwindigkeit v , die ein Elektron auf der n -ten Bahn bei einem Wasserstoffatom hat. Wie groß ist v speziell für n = 1 ?

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