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Atomkerne und radioaktive Zerfallsprozesse

Zerfallsgesetz

Für einen gegebenen nicht stabilen Atomkern gibt es keine Möglichkeit vorherzusagen, wann er zerfallen wird. Jedoch hat sich gezeigt, dass sich die Wahrscheinlichkeit (Zerfallskonstante λ mit Einheit 1 s ) für den Zerfall innerhalb des nächsten Zeitabschnitts sehr gut angeben lässt. Für die Gesamtheit einer großen Anzahl N gleichartige Kerne lässt sich daher eine Aussage über die Zerfälle pro Zeiteinheit (Zerfallsrate) machen.

Die Änderung der Anzahl der Teilchen ( d N ) pro Zeiteinheit ( d t ) ist vom Vorzeichen her negativ (es werden weniger) und vom Betrag her genauso groß wie die Zerfallsrate (jeder Zerfall entspricht einem radioaktiven Prozess), die aber positiv gezählt wird. Die Zerfallsrate selbst ist das Produkt aus der Anzahl der Kerne N und der Zerfallskonstanten λ . Wir können also schreiben: d N N = λ d t .

Das Bemerkenswerte an dieser Aussage ist, dass d N N völlig zeitunabhängig ist. Ganz anders als für Lebewesen, deren Todeswahrscheinlichkeit entscheidend vom bisher erreichten Alter abhängt - 100jährige haben eine extrem höhere Todesrate als 20jährige - hängt die Zerfallswahrscheinlichkeit von Atomkernen überhaupt nicht von ihrem bisherigen Lebensalter ab.

Die obige Gleichung stellt also eine differenzielle Gleichung dar, die den radioaktiven Zerfall beschreibt. Wollen wir die Anzahl der noch vorhandenen Kerne N zum Zeitpunkt t wissen - ausgehend von N 0 Kernen zum Zeitpunkt t 0 - so müssen wir beide Seiten jeweils integrieren: N 0 N d N N = λ t 0 t d t . Nach der durchgeführten Integration erhalten wir: ln N ln N 0 = λ ( t t 0 ) . Für t 0 = 0 vereinfacht sich die Gleichung mit den Rechenregeln der Logarithmusfunktion zu: ln N N 0 = λ t . Wendet man die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so ergibt sich: N N 0 = e λ t Wir bringen N 0 . noch auf die andere Seite und erhalten schließlich das Zerfallsgesetz.

Zerfallsgesetz
Bei einem radiokativen Stoff mit der Zerfallskonstanten λ sind von anfänglich N 0 Kernen nach der Zeit t noch N = N 0 e λ t Kerne vorhanden.

Die Zeit bis zur Abnahme der Anzahl der Atome auf den e -ten Teil bezeichnet man als mittlere Lebensdauer. Für Sie gilt τ = 1 λ .

Die Halbwertszeit T 1 / 2 ist die Zeit, die vergeht, bis die Anzahl der anfangs vorhandenen Atome durch Zerfall auf die Hälfte abgenommen hat. Es gilt also: N 0 2 = N 0 e λ T 1 / 2 , oder nach Logarithmieren auf beiden Seiten ln 2 = λ T 1 / 2 . Mit Hilfe der Halbwertszeit lässt sich das Zerfallsgesetz auch in der folgenden Form schreiben: N = N 0 2 t T 1 / 2 .

Wie bereits erwähnt gibt die Zerfallsrate R die Anzahl der Kerne an, die pro Zeiteinheit zerfallen. Sie wird auch als Aktivität einer Probe bezeichnet. Ihre SI-Einheit ist das Becquerel Bq (Zerfall pro Sekunde). Die Aktivität R ist die zeitliche Änderung der Anzahl der noch vorhandenen Kerne N - wir erhalten sie also durch Ableiten des Zerfallsgesetzes nach der Zeit. R = d N d t = λ N 0 e λ t , oder formuliert mit der ursprünglichen Aktivität R 0 ergibt sich R = R 0 e λ t .

Die exponentielle Abhängigkeit der Radioaktivität von der Zeit ist so gut erfüllt, dass sie zur Altersbestimmung von Mineralien oder auch zur Altersbestimmung von organischem Material geeignet ist.

Tab.1
Halbwertszeiten einiger Isotope
ElementHalbwertszeit
Uran-2384 470 000 000 a
Uran-235704 000 000 a
Radium-2261 600 a
Wasserstoff-312,3 a
Radon-2223,8 d
Po-2140,16 ms
Arbeitsauftrag

Das (Fantasie-)Element Schwerium (Mutter) zerfällt mit einer Zerfallskonstante von 0,6 pro Sekunde in das Element Leichterium (Tochter), welches wiederum mit der Zerfallskonstanten 0,35 1/s in das Element Stabilium zerfällt. Stabilium selbst ist nicht radioaktiv.

  • Berechnen Sie aus den Zerfallskonstanten die Halbwertszeiten der Elemente. Skizzieren Sie auf einem Papier den erwarteten Verlauf der Atomzahlen der beteiligten Elemente über die Zeit.
  • Beobachten Sie die Zerfallsraten anhand der Pfeile und des Graphen und vergleichen Sie dies mit Ihrer Vorhersage.
  • Zu welchem Zeitpunkt ist die maximale Anzahl an Leichterium-Atomen vorhanden?
  • Betrachten Sie auch Fälle, in denen das Tochterelement schneller zerfällt als das Mutterelement, indem Sie seine Zerfallskonstante im Modell auf 1,2 pro Sekunde abändern. Nach welcher Zeit ist jetzt die maximale Anzahl an Tochterelementen vorhanden?
  • Nun soll angenommen werden, dass Stabilium ebenfalls zerfällt und zwar mit mit einer Zerfallskonstanten von 0,95 pro Sekunde in das Element Stabilium2. Erweitern Sie das Modell um diesen weiteren Prozess und fügen Sie im Graphen der Animation eine zusätzliche Kurve ein, die den zeitlichen Verlauf der Anzahl der Stabilium2-Kerne angibt.
Abb.1
JPAKMA-Projekt "Wasserstoffwellenfunktion"

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