Energiebilanz der Wärmestrahlung

Das Emissionsvermögen eines Körpers ist nach dem Kirchhoff-Gesetz gleich seinem Absorptionsvermögen. Danach ist das Verhältnis in einem bestimmten Wellenlängenbereich Δ$\lambda$ bei gleicher Temperatur $\mathit{T}$ für alle Körper gleich. Es gilt:

$$\frac{{\epsilon }_1}{a_1}=\frac{{\epsilon }_2}{a_2}=\frac{{\epsilon }_3}{a_3}\mathrm{...}\frac{{\epsilon }_s}{a_s}=f(\lambda ,T)$$

Legende

$\epsilon$	-	Emissionsvermögen
$a$	-	Absorptionsvermögen

Die Bezeichnungen ${\epsilon }_s$ und $a_s$ beziehen sich auf den absolut schwarzen Körper.

Der von einem schwarzen Körper emittierte oder absorbierte Energiestrom ${\dot{E}}_s$ ($\text{W}{\text{m}}^2$) bezogen auf die Fläche des Strahlers ist abhängig von der Intensität der Strahlung $\mathit{I}$, die wiederum nach dem Planck'schen Strahlungsgesetz eine Funktion der Wellenlänge $\lambda$ und der Temperatur $\mathit{T}$ ist.

$${\dot{E}}_s=\underset{\lambda =0}{\overset{\infty }{\int }}I\left(\lambda ,T\right)d\lambda$$

Die Intensität der Strahlung $\mathit{I}$ ($\text{W}{\text{m}}^2$) berechnet sich nach dem Planck'schen Strahlungsgesetz:

$$I_s\left(\lambda ,T\right)=\frac{C_1}{{\lambda }^5(e^{C_2/\lambda \cdot T}-1)}$$

mit:

$$\begin{array}{l}{C}_1=2\cdot \pi \cdot h\cdot c_0^2\\ C_2=c_0\cdot h\cdot k^{-1}\end{array}$$

Legende

$c_0$	-	Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
$C$	-	Strahlungszahl
$h$	-	Planck'sches Wirkungsquantum
$k$	-	Boltzmann-Konstante

Die gesamte von einem schwarzen Körper bei der Temperatur $\mathit{T}$ ausgestrahlten Energie bezogen auf die Fläche des Strahlers, ergibt sich aus der Integration der spektralen Strahlungsintensität $I_s$ über den gesamten Wellenlängenbereich:

$${\dot{E}}_s=\underset{\lambda =0}{\overset{\infty }{\int }}{I}_s\left(\lambda ,T\right)d\lambda =A\cdot \frac{2\cdot {\pi }^5\cdot k^4}{15\cdot c_0^2\cdot h^3}\cdot T^4$$

Legende

$A$

-

Fläche

Nach dem Gesetz von Stefan-Boltzmann ist ${\dot{E}}_s$ der 4. Potenz der Kelvin-Temperatur des Körpers proportional:

$${\dot{E}}_s=\sigma \cdot T^4$$

Legende

$\sigma$

-

Stefan-Boltzmann-Konstante ($\mathrm{5,675}\cdot {10}^{-8}\text{W}{\text{m}}^{-2}{\text{K}}^{-4}$)

Wegen des sehr kleinen Zahlenwertes der Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma$ und der sehr großen für ${\mathit{T}}^4$ wird das Gesetz auch in folgender Form angegeben:

$${\dot{E}}_s=C_s\cdot {\left(\frac{T}{100}\right)}^4$$

Dabei ist $C_s$ der Strahlungskoeffizient $(C_s=\sigma \cdot {10}^8=\mathrm{5,675}\text{W}{\text{m}}^{-2}{\text{K}}^{-4})$ und ${(1/100)}^4$ ein Faktor ohne physikalische Bedeutung, der lediglich die Zahlenrechnung vereinfacht.

Diese Gleichung gilt für einen schwarzen Körper, also einen Körper mit maximalem Absorptions- bzw. Emissionsvermögen. Graue Körper besitzen ein Emissionsvermögen, das kleiner als das des schwarzen Körpers ist. Dies drückt sich in der Emissionszahl $\epsilon$ aus:

$$\epsilon =\frac{\dot{E}}{{\dot{E}}_s}=\frac{C}{C_s}$$

Es gilt also:

$$\dot{E}=C\cdot {\left(\frac{T}{100}\right)}^4=\epsilon \cdot C_s\cdot {\left(\frac{T}{100}\right)}^4$$

Die Emissionszahl $\epsilon$ (auch Schwärzegrad genannt) ist eine Funktion des Materials, der Oberflächenbeschaffenheit und der Temperatur.

Vertiefung: Wien'sches Verschiebungsgesetz

Vertiefung: Verteilung der Strahlung im Raum