Wärmeleitung durch eine mehrschichtige Wand

Bei einer Wand, die aus mehreren Schichten unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit aufgebaut ist, geht durch jede Schicht der gleiche Wärmestrom $\stackrel{·}{Q}$.

Für eine dreischichtige Wand gilt:

$$\dot{Q}=\frac{{\lambda }_1}{\Delta z_1}\cdot A\cdot (T_1-T_2)=\frac{{\lambda }_2}{\Delta z_2}\cdot A\cdot (T_2-T_3)=\frac{{\lambda }_3}{\Delta z_3}\cdot A\cdot (T_3-T_4)$$

(Negatives Vorzeichen verschwindet, wenn T₁ > T₂)

Bei mehr als drei Schichten sind die Gleichungen entsprechend zu erweitern. Der Wärmestrom durch eine dreischichtige Wand ist dann:

$$\dot{Q}=\frac{1}{\frac{\Delta z_1}{{\lambda }_1}+\frac{\Delta z_2}{{\lambda }_2}+\frac{\Delta z_3}{{\lambda }_3}}\cdot A\cdot (T_1-T_4)$$

Herleitung

Hieraus ergibt sich der Wärmeleitwiderstand der dreischichtigen Wand:

$$R_{\mathrm{gesamt}}=\frac{(T_1-T_4)\cdot A}{\dot{Q}}=\left(\frac{\Delta z_1}{{\lambda }_1}+\frac{\Delta z_2}{{\lambda }_2}+\frac{\Delta z_3}{{\lambda }_3}\right)$$

Er ist mit $R_1=\frac{\Delta z_1}{{\lambda }_1}$ usw. gleich der Summe der spezifischen Wärmeleitwiderstände der einzelnen Schichten:

$$\sum _{i=1}^j\frac{\Delta z_i}{{\lambda }_i}=\frac{\Delta T\cdot A}{\dot{Q}}$$

Die Summanden sind vertauschbar, demnach ändert sich der Gesamtwärmewiderstand einer ebenen Wand bei Vertauschung der Schichten nicht, solange die Veränderung der Wärmeleitfähigkeit λ durch die veränderten Schichttemperaturen vernachlässigt werden kann. Die Temperaturverteilung in der Wand ist aber eine andere, was insbesondere bei Isolierungen zu beachten ist.

Rechenaufgabe