A. Transport von Teilchen / Masse

Wir wählen als Transportgröße die Teilchenzahl $\mathit{N}$ und verwenden im Differenzialquotienten der allgemeinen Flussgleichung die intensive Größe Teilchendichte $\mathit{N}/\mathit{V}$ (bestimmt aus der Teilchenzahl $\Delta \mathit{N}$ im konstanten Volumen $\Delta \mathit{V}=\mathit{A}\cdot \Delta \mathit{x}$ der beiden Schichten der Durchtrittsfläche):

$${\mathit{J}}_{\mathit{x}}(\text{Teilchen})=-\mathit{D}\frac{\partial \left\{\mathit{N}(\mathit{x},\mathit{t})/\mathit{V}\right\}}{\partial \mathit{x}}$$

Die temperaturabhängige Konstante $\mathit{D}$ heißt Diffusionskoeffizient, ihre Dimension ergibt sich gemäß:

$$\frac{\text{Teilchen}}{{\text{m}}^2\text{s}}=[\text{D}]\frac{\text{Teilchen/}{\text{m}}^3}{\text{m}}=\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}\frac{\text{Teilchen}}{{\text{m}}^4}\Rightarrow [\text{D}]=\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}$$

B. Transport von Energie

Im Differenzialquotienten der allgemeinen Flussgleichung verwenden wir als intensives Maß der Energie die Temperatur, da für die innere Energie $\mathit{U}$ in den beiden Schichten der Durchtrittsfläche $\mathit{U}\sim \kappa \mathit{T}$ gilt:

$${\mathit{J}}_{\mathit{x}}(\text{Energie})=-\kappa \frac{\text{d}\mathit{T}}{\text{d}\mathit{x}}$$

Die temperaturabhängige Konstante $\kappa$ heißt Wärmeleitfähigkeit, ihre Dimension ergibt sich gemäß:

$$\frac{\text{J}}{{\text{m}}^2\text{s}}=\left[\kappa \right]\frac{\text{K}}{\text{m}}=\frac{\text{J}\cdot \text{m}}{\text{K}{\text{m}}^2\text{s}}\cdot \frac{\text{K}}{\text{m}}\Rightarrow \left[\kappa \right]=\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}\text{s}{\text{m}}^{-1}$$

C. Transport von Impuls

Im Differenzialquotienten der allgemeinen Flussgleichung verwenden wir die Geschwindigkeit ${\upsilon }_{\text{z}}$ als Maß der Transportgröße des Impulses in $\mathit{z}$-Richtung und erhalten:

$${\mathit{J}}_{\mathit{z}}\text{(z-Impulskomponente)}=-\eta \frac{\mathit{d}{\upsilon }_{\text{z}}}{\text{d}\mathit{x}}$$

Die temperaturabhängige Konstante $\eta$ wird als dynamischer Viskositätskoeffizient bezeichnet (auch kurz Viskosität oder Zähigkeit), ihre Dimension ergibt sich gemäß

$$\frac{\text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}}{{\text{m}}^2\text{s}}=\left[\eta \right]\frac{(\text{m}{\text{s}}^{-1})}{\text{m}}=\frac{\text{kg}\text{m}{\text{s}}^{-1}\text{m}}{\text{s}{\text{m}}^2\cdot \text{m}{\text{s}}^{-1}}\cdot \frac{\text{m}{\text{s}}^{-1}}{\text{m}}\Rightarrow \left[\eta \right]=\text{kg}{\text{m}}^{-1}{\text{s}}^{-1}=\text{Pa}\text{s}$$

Bis 1977 war es üblich, $\eta$ in der Einheit Poise anzugeben:

$$1\text{P}=\mathrm{0,1}\text{kg}/\text{ms}\text{ oder 1 Zentipoise}=1\text{cP}={10}^{-2}\text{P}={10}^{-3}\text{kg}/\text{ms}=1\text{g}{\text{m}}^{-1}{\text{s}}^{-1}$$

Mitunter wird auch die kinematische Viskosität $\eta /\rho$ verwendet ($\rho =$ Massendichte des Stoffes). Eine bekannte Methode zur Messung der Viskosität von fluiden Stoffen basiert auf seinem Fluss durch ein Rohr. Es gilt das Hagen-Poiselle'sches Gesetz:

$$\frac{\mathit{V}}{\mathit{t}}=\frac{\pi {\mathit{R}}^4\Delta \mathit{p}}{8\eta \text{L}}\text{mit}\begin{array}{rcl}\mathit{V}/\mathit{t}& =& \text{Durchgeströmtes Volumen pro Zeit}\\ \mathit{R}& =& \text{Radius des Rohres}\\ \mathit{L}& =& \text{Länge des Rohres}\\ \Delta \mathit{p}& =& \text{Druckdifferenz zwischen Rohreingang und -ausgang}\end{array}$$

Temperaturabhängigkeit der Viskosität

Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität zeigt in nicht zu großen Temperaturbereichen ein exponentielles (Arrhenius-) Verhalten:

$$\eta (\mathit{T})={\eta }_0\cdot {\mathit{e}}^{\frac{\mathit{C}}{\mathit{T}}}$$

Abb.1

Temperaturabhängigkeit der Viskosität verschiedener Stoffe (Werte aus Handbook of Chemistry and Physics, 52 ^nd edition, The Chemical Rubber Publishing Company, Cleveland 1972).

Die Konstanten ${\eta }_0$ und $\mathit{C}$ sind Anpassungsparameter. Über größere $\mathit{T}$-Bereiche sind deutliche Abweichungen feststellbar, wie das Diagramm rechts zeigt. Lediglich die Kurve für Ethanol bildet annähernd eine Gerade (man beachte die logarithmische Skala der y-Achse).