Mittlere, molare Wärmekapazität

Die $\mathit{T}$-Abhängigkeit von ${\mathit{C}}_{\mathit{p}}$, ${\mathit{C}}_{\mathit{V}}$ wird häufig durch die Angabe mittlerer Werte dargestellt. Als Beispiel sei luftfreies Wasser beim Standarddruck $\mathit{p}°$ betrachtet. Die molaren Wärmekapazitäten ${\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}$ (in $\text{J}$ ${\text{K}}^{-1}$ ${\text{mol}}^{-1}$) haben im Bereich $0$ - $100$ $\text{°C}$ die folgenden Werte.

Die Fläche unter dieser Kurve ist die gesamte Wärmemenge ${\mathit{Q}}_{\text{S}}$, um ein Mol Wasser von $0$ auf $100$ $\text{°C}$ zu erwärmen.

$${\mathit{Q}}_{\text{S}}=\underset{0\text{°C}}{\overset{100\text{°C}}{\int }}{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}(\mathit{T})\text{d}\mathit{T}=:\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}}(100\text{°C}-0\text{°C})=\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}}\cdot 100\text{K}$$

Die mittlere, molare Wärmekapazität $\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}}$ ist so definiert, dass die Rechteckfläche $\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}}\cdot 100\text{K}$ gleich dem Integral ${\mathit{Q}}_{\text{S}}$ ist.

Es ist eine Sache von ca. $20$ $\text{min}$, die obigen Werte der molaren Wärmekapazitäten auf Millimeterpapier darzustellen, sie mit einem Kurvenlineal zu verbinden, die gesamte Fläche unter der Kurve auszuschneiden und mit einer analytischen Waage die Papierfläche unter der Kurve in ${\text{cm}}^2$ genau zu bestimmen (nach 140-prozentiger Vergrößerung auf dem Kopierer, Papierschere, zweifache Durchführung, Integrationsfehler ab der 4. Stelle). Vom Autor exerziert entsteht das folgende Ergebnis.

$$\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}\text{,m}}}=\mathrm{75,479}\text{J}{\text{K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}\text{für luftfreies Wasser}$$

Für ein beliebiges $\mathit{T}$-Intervall gilt entsprechend für die Wärmekapazität bei konstantem Druck und beliebiger Stoffmenge:

$$\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}}}\cdot ({\mathit{T}}_2-{\mathit{T}}_1)=\underset{{\mathit{T}}_1}{\overset{{\mathit{T}}_2}{\int }}{\mathit{C}}_{\mathit{p}}(\mathit{T})\text{d}\mathit{T}\text{oder}\overline{{\mathit{C}}_{\mathit{p}}}=\frac{1}{{\mathit{T}}_2-{\mathit{T}}_1}\underset{{\mathit{T}}_1}{\overset{{\mathit{T}}_2}{\int }}{\mathit{C}}_{\mathit{p}}(\mathit{T})\text{d}\mathit{T}.$$