Grundlagen Wärmetransport

Fourier-Gleichung

Für die Herleitung der 1. Fourier-Gleichung werden folgende Modellvoraussetzung getroffen:

Abb.1

Das System wird zwischen zwei Wärmereservoire geschaltet
Vom ersten Reservoir mit höherer Temperatur T₁ lässt man kontinuierlich Wärmeenergie in das System hineinfließen
Das zweite Reservoir mit niedrigerer Temperatur T₂ nimmt kontinuierlich eine entsprechende Menge der transportierten Energie aus dem System auf
So entsteht ein von Ort zu Ort verschiedener, aber zeitlich unveränderter Temperaturverlauf (stationärer Wärmetransport dT/dt = 0)
Der Wärmestrom fließt in die Richtung des stärksten Temperaturabfalles
Der Wärmestrom ist abhängig von der Triebkraft, also der Temperaturdifferenz je Längeneinheit (wobei ΔT= T₂- T₁ )
Der Temperaturgradient ist dann genau entgegengesetzt gegen $\overset{\cdot}{q}$ gerichtet, wodurch sich ein negatives Vorzeichen ergibt

Es gilt:

\overset{\cdot}{q} \propto - \frac{dT}{dz}

\overset{\cdot}{q} = - λ \cdot \frac{dT}{dz}

wobei dann

\overset{\cdot}{q} = \frac{\overset{\cdot}{Q}}{A}

\overset{\cdot}{Q} = - λ \cdot A \cdot \frac{dT}{dz}

wobei

\overset{\cdot}{Q} = \frac{Q}{t}

Daraus folgt die 1.Fourier-Gleichung:

Q = - λ \cdot A \cdot \frac{dT}{dz} t

Symbold	Beschreibung	Einheit
$\overset{\cdot}{q}$	Wärmestromdichte (flächenbezogenen Wärmestrom)	W·m^-2
$\overset{\cdot}{Q}$	Wärmestrom	W
$Q$	Wärmemenge	J
$λ$	Wärmeleitfähigkeitskoeffizient	W·K ^-1·m^-1
$A$	Strömungsquerschnitt	m²
$Δ T$	Temperaturdifferenz	K
$Δ z$	Dicke der Wand	m
$t$	Zeit	h