Halbwertszeit bei Reaktionen 1. Ordnung

Die Halbwertszeit kann aus dem Geschwindigkeitsgesetz berechnet werden. Wir betrachten wieder eine einfache Reaktion:

Diese Reaktion laufen 1. Ordnung ab:

$$-\frac{\text{d}\left[\text{A}\right]}{\text{d}\mathit{t}}=\mathit{k}\cdot \left[\text{A}\right]$$

Durch Umstellung (Variablentrennung) erhält man daraus:

$$-\frac{\text{d}\left[\text{A}\right]}{\left[\text{A}\right]}=\mathit{k}\cdot \text{d}\mathit{t}$$

Die Gleichung wird nun integriert, wobei als Nullpunkt die Ausgangssituation vor Beginn der Reaktion gewählt wird. ${\left[\text{A}\right]}_{\text{0}}$ bezeichnet die Anfangskonzentration von A bei $\mathit{t}$ = 0.

$$\underset{{\left[\text{A}\right]}_0}{\overset{\left[\text{A}\right]}{\int }}\frac{\text{d}\left[\text{A}\right]}{\left[\text{A}\right]}=\underset{0}{\overset{\mathit{t}}{\int }}-\mathit{k}\cdot \text{d}\mathit{t}$$

Daraus folgt:

$$ln\left(\frac{\left[\text{A}\right]}{{\left[\text{A}\right]}_0}\right)=-\mathit{k}\cdot \mathit{t}$$

Diese Gleichung gilt für den gesamten Verlauf einer Reaktion 1. Ordnung. Wir betrachten jetzt die Halbwertszeit ${\mathit{t}}_{\mathrm{½}}$. Nach einer Halbwertszeit hat die Konzentration von A um die Hälfte abgenommen: [A] = ${\text{½}\left[\text{A}\right]}_{\text{0}}$. Dies wird nun in die Gleichung eingesetzt, ${\left[\text{A}\right]}_{\text{0}}$ kann gekürzt werden.

$$ln\left(\frac{\frac{1}{2}{\left[\text{A}\right]}_0}{{\left[\text{A}\right]}_0}\right)=ln\left(\frac{1}{2}\right)=-k\cdot {\mathit{t}}_{\mathrm{½}}$$

Es gilt $ln(1/2)=-ln\left(2\right)$. Durch Umformung erhalten wir einen Ausdruck für die Halbwertszeit:

Halbwertszeit

$${\mathit{t}}_{\mathrm{½}}=\frac{ln\left(2\right)}{\mathit{k}}$$

Die Halbwertszeit ist also unabhängig von der Konzentration des Eduktes. Dies ist charakteristisch für Reaktionen 1. Ordnung. Auch der radioaktive Zerfall gehorcht einem Geschwindigkeitsgesetz 1. Ordnung. Man nutzt dies aus bei der Altersbestimmung, beispielsweise nach der C14-Methode.