Mathematische Beschreibung der Ionenbewegung

Die exakte mathematische Beschreibung des Verhaltens der Ionen mit unterschiedlichen Massen im Quadrupol-Feld ist nur durch Lösung komplexer Differentialgleichungen möglich. Im Folgenden werden die Grundzüge dieser Berechnung beschrieben:

Die Kraft $\mathit{F}$, die durch das angelegte elektrische Feld auf die Ionen mit der Masse $\mathit{m}$ und der Ladung $z$ wirkt, kann beschrieben werden durch die Gleichungen und .

$$F=z\cdot e\cdot E$$

Legende

z	-	Zahl der Ladungen
e	-	Elementarladung
E	-	elektrische Feldstärke

$$F=m\cdot a$$

Legende

a

-

Beschleunigung

Diese beiden Gleichungen kann man umformen zu:

$$a=\frac{z\cdot e}{m}\cdot E$$

Die elektrische Feldstärke, die in die einzelnen Raumrichtungen auf das Ion wirkt, ist definiert durch das elektrische Potenzial:

$$\Phi (x,y,t)=(U+Vcos\omega t)\cdot \frac{x^2-y^2}{r^2}$$

Es ergibt sich

• für die x-Richtung:$$E_x=-\frac{\partial \Phi }{\partial x}=-2(U+Vcos\omega t)\cdot \frac{x}{r^2}$$
• für die y-Richtung:$$E_y=-\frac{\partial \Phi }{\partial y}=2(U+Vcos\omega t)\cdot \frac{y}{r^2}$$
• für die z-Richtung:$$E_z=-\frac{\partial \Phi }{\partial z}=0$$

Setzt man diese Ausdrücke in die Gleichung für die Beschleunigung ein, ergibt sich die Bewegung der Ionen

• für die x-Richtung:$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{ze}{m}\cdot (-\frac{\partial \Phi }{\partial x})=-\frac{ze}{m{r}^2}\cdot 2(U+Vcos\omega t)x$$
• für die y-Richtung:$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{ze}{m}\cdot (-\frac{\partial \Phi }{\partial y})=\frac{ze}{m{r}^2}\cdot 2(U+Vcos\omega t)y$$
• für die z-Richtung:$$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=0$$

Die Bewegungsgleichungen können als Mathieu'sche Gleichungen verstanden werden, wenn man sie mit den Parametern a und q versieht.

Ohne die Differentialgleichungen zu lösen, kann man den Schluss ziehen, dass das Ion in z-Richtung nicht beschleunigt wird.