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Tutorial MenueMassenspektrometrieLerneinheit 13 von 14

Massenspektrometer - Der Massenanalysator - Quadrupol

Mathematische Beschreibung der Ionenbewegung

Die exakte mathematische Beschreibung des Verhaltens der Ionen mit unterschiedlichen Massen im Quadrupol-Feld ist nur durch Lösung komplexer Differentialgleichungen möglich. Im Folgenden werden die Grundzüge dieser Berechnung beschrieben:

Die Kraft F, die durch das angelegte elektrische Feld auf die Ionen mit der Masse m und der Ladung z wirkt, kann beschrieben werden durch die Gleichungen und .

F = z e E
Legende
z-Zahl der Ladungen
e-Elementarladung
E-elektrische Feldstärke
F = m a
Legende
a-Beschleunigung

Diese beiden Gleichungen kann man umformen zu:

a = z e m E

Die elektrische Feldstärke, die in die einzelnen Raumrichtungen auf das Ion wirkt, ist definiert durch das elektrische Potenzial:

Φ ( x , y , t ) = ( U + V cos ω t ) x 2 y 2 r 2

Es ergibt sich

  • für die x-Richtung: E x = Φ x = 2( U + V cos ω t ) x r 2
  • für die y-Richtung: E y = Φ y = 2( U + V cos ω t ) y r 2
  • für die z-Richtung: E z = Φ z = 0

Setzt man diese Ausdrücke in die Gleichung für die Beschleunigung ein, ergibt sich die Bewegung der Ionen

  • für die x-Richtung: d 2 x d t 2 = z e m ( Φ x ) = z e m r 2 2( U + V cos ω t ) x
  • für die y-Richtung: d 2 y d t 2 = z e m ( Φ y ) = z e m r 2 2( U + V cos ω t ) y
  • für die z-Richtung: d 2 z d t 2 = 0

Die Bewegungsgleichungen können als Mathieu'sche Gleichungen verstanden werden, wenn man sie mit den Parametern a und q versieht.

Ohne die Differentialgleichungen zu lösen, kann man den Schluss ziehen, dass das Ion in z-Richtung nicht beschleunigt wird.

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