Massenspektrometer - Der Massenanalysator - Quadrupol
Mathematische Beschreibung der Ionenbewegung
Die exakte mathematische Beschreibung des Verhaltens der Ionen mit unterschiedlichen Massen im Quadrupol-Feld ist nur durch Lösung komplexer Differentialgleichungen möglich. Im Folgenden werden die Grundzüge dieser Berechnung beschrieben:
Die Kraft , die durch das angelegte elektrische Feld auf die Ionen mit der Masse und der Ladung wirkt, kann beschrieben werden durch die Gleichungen und .
z | - | Zahl der Ladungen |
e | - | Elementarladung |
E | - | elektrische Feldstärke |
a | - | Beschleunigung |
Diese beiden Gleichungen kann man umformen zu:
Die elektrische Feldstärke, die in die einzelnen Raumrichtungen auf das Ion wirkt, ist definiert durch das elektrische Potenzial:
Es ergibt sich
- für die x-Richtung:
- für die y-Richtung:
- für die z-Richtung:
Setzt man diese Ausdrücke in die Gleichung für die Beschleunigung ein, ergibt sich die Bewegung der Ionen
- für die x-Richtung:
- für die y-Richtung:
- für die z-Richtung:
Die Bewegungsgleichungen können als Mathieu'sche Gleichungen verstanden werden, wenn man sie mit den Parametern a und q versieht.
Ohne die Differentialgleichungen zu lösen, kann man den Schluss ziehen, dass das Ion in z-Richtung nicht beschleunigt wird.