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Symmetrie: Punktgruppe, Symmetrieelemente

Symmetrie-Operationen, Symmetrie-Elemente

Strukturen und Erscheinungen, die mit den Begriffen der Symmetrie charakterisiert werden können, sind in der Natur weit verbreitet (Kristalle, Moleküle, α- oder β-Spin, Materie und Anti-Materie). Deshalb hat die Symmetriebetrachtung auch in der Chemie immer mehr Bedeutung erlangt. In direktem Zusammenhang mit der Untersuchung der Struktur der Materie stehen die räumlichen Beziehungen der Atome in einem Molekül bzw. der Moleküle in Kristallen.

Die Symmetrie eines Systems wird durch die Gesamtheit von Operationen klassifiziert, die das betrachtete System mit sich selbst zur Deckung bringen; diese geometrischen Operationen werden als Symmetrie-Operationen bezeichnet.

Definition: Symmetrie-Operation und Symmetrie-Element
Eine Symmetrie-Operation ist eine Transformation, die ein Objekt nach ihrer Anwendung unverändert erscheinen lässt. Ein Symmetrie-Element ist ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene, bezüglich derer die Symmetrie-Operation durchgeführt wird.

Für endliche Körper unterscheidet man fünf Arten von Symmetrie-Operationen und damit fünf Arten von Symmetrie-Elementen:

  • Die Identität E besteht darin, nichts zu tun; das entsprechende Symmetrie-Element ist das gesamte Objekt. Da die neue Orientierung zwangsläufig nicht von der alten zu unterscheiden ist, wenn keine Bewegung erfolgt ist, besitzt jeder Körper zumindest dieses Symmetrie-Element. Man schließt diese Symmetrie-Operation in die Behandlung mit ein, da erstens manche Moleküle (z.B. CHBrClF) nur dieses Symmetrie-Element besitzen und zweitens der Formalismus der Gruppentheorie dieses Element verlangt (es ist das neutrale Element, das in jeder Gruppe vorhanden sein muss).
  • Eine n-zählige Rotation (die Symmetrie-Operation) ist eine Rotation um 360°/n um eine n-zählige Drehachse C n (das zugehörige Symmetrie-Element).
  • Bei einer Inversion (Punktspiegelung: die Operation) an einem Inversionszentrum i (das Symmetrie-Element) werden alle Punkte entlang einer geraden Linie durch das Inversionszentrum auf die andere Seite gespiegelt.
  • Eine Spiegelung (die Operation) erfolgt an einer Symmetrieebene oder Spiegelebene σ (das Element).
  • Eine Drehspiegelung (die Operation) um eine Drehspiegelachse S n (das Element) besteht aus einer n-zähligen Drehung, gefolgt von einer Spiegelung an einer horizontalen Spiegelebene.
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