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Tutorial MenueQuantentheorie und SpektroskopieLerneinheit 4 von 6

Quantentheorie und Spektroskopie: Rotationsspektroskopie

Rotationsbewegungen mehratomiger Moleküle

Die Energieniveaus des starren Rotators kann man auf zwei Wegen berechnen. Entweder über die direkte Lösung der Schrödinger-Gleichung oder durch einen Analogie-Schluss zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Im folgenden soll der zweite Weg beschritten werden.

Bei mehratomigen Molekülen werden verschiedene Typen von Verhältnissen der Hauptträgheitsachsen und dementsprechend verschiedene Energieformeln gefunden. Man unterscheidet zwischen sphärischen Kreiseln, symmetrischen Kreiseln und linearen Kreiseln

Energie eines rotierenden Körpers

Die Energie eines starren Rotators, der um die z-Achse rotiert, ist

E = 1 2 J z ω z 2 ,

wobei ω z die Winkelgeschwindigkeit und J z das Trägheitsmoment (in z -Richtung) ist. Bei einer Rotation in allen drei Raumrichtungen erweitert sich die Gleichung entsprechend:

E = 1 2 J x ω x 2 + 1 2 J y ω y 2 + 1 2 J z ω z 2 .

Da für den Drehimpuls L = J · ω gilt, kann die Gleichung auch so formuliert werden:

E = L x 2 2 J x + L y 2 2 J y + L z 2 2 J z .

Sphärische Kreisel

Zunächst soll das Problem für so genannte sphärische Kreisel gelöst werden. Das sind Moleküle, die in allen drei Raumrichtungen das gleiche Trägheitsmoment besitzen, wie es z.B. beim Methan oder beim Schwefelhexafluorid der Fall ist. In diesem Fall reduziert sich der Ausdruck für die Energie des Rotators auf

E = L x 2 + L y 2 + L z 2 2 J = L 2 2 J .

Der Drehimpuls L ist gequantelt und kann daher nur diskrete Werte annehmen:

L 2 = l ( l + 1 ) 2  mit  l = 0 , 1 , 2 , ... .

Damit ergibt sich folgender Ausdruck für die Energie eines sphärischen Kreisels:

E = l ( l + 1 ) 2 2 J .

Symmetrische Kreisel

Bei symmetrischen Kreiseln sind zwei Trägheitsmomente gleich, das dritte aber verschieden. (Das ausgezeichnete Trägheitsmoment wird im Folgenden mit J z bezeichnet. Für die anderen beiden gilt: J x = J y .) Symmetrische Kreisel sind z.B. die Moleküle Benzol und Chlormethan. Der Ausdruck für die Energie wird hier zu:

E = L x 2 + L y 2 2 J x + L z 2 2 J z .

Wenn man den Ausdruck für den Gesamt-Drehimpuls

L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2

in die obige Gleichung einsetzt, erhält man für die Energie

E = L 2 L z 2 2 J x + L z 2 2 J z = L 2 2 J x + ( 1 2 J z 1 2 J x ) L z 2

und nach dem Einsetzen der beiden quantenmechanischen Ausdrücke für den Drehimpuls

L 2 = l ( l + 1 ) 2  mit  l = 0 , 1 , 2 , ...
L z 2 = m 2 2  mit  m = 0 , ± 1 , ± 2 , ... , ± l

ergibt sich für die Energie des symmetrischen Kreisels folgende Gleichung:

E = l ( l + 1 ) 2 2 J x + m 2 ( 2 2 J z 2 2 J x ) .

Lineare Kreisel

Lineare Kreisel, wie z.B. die Moleküle Kohlendioxid oder Ethin, haben keinen Drehimpuls in Richtung der Molekülachse, da das Trägheitsmoment für diese Achse gegen Null geht. Die anderen beiden Trägheitsmomente sind gleich. Wenn also J x = J y und L z = 0 gilt, dann ergibt sich folgender Ausdruck für die Energie

E = L x 2 + L y 2 2 J x = L 2 2 J .

Nach dem Einsetzen des quantenmechanischen Ausdrucks für den Drehimpuls erhält man dieselbe Energie-Formel wie beim sphärischen Kreisel, nämlich:

E = l ( l + 1 ) 2 2 J .

Mit den so gefundenen Formeln lassen sich die Energien der gequantelten Rotationsniveaus für alle drei Formen von Molekül-Kreiseln berechnen. Damit lassen sich auch die charakteristischen Frequenzen der Rotationsspektren vorhersagen.

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