Beispiel: Rotationsspektrum von CO

Als Beispiel betrachten wir das Rotationsspektrum von ${}^{12}\text{C}{}^{16}\text{O}$ in der Näherung des starren Rotators. Mit $B=\mathrm{1,92}{\text{cm}}^{-1}$ und $kT/hc=\mathrm{207,22}{\text{cm}}^{-1}$ bei $T=\mathrm{298,15}\text{K}$ erhält man als Formel für das Besetzungsverhältnis, welches die Intensitätsverteilung im Spektrum bestimmt:

$$\frac{N_l}{N_0}=(2l+1)\cdot exp\left(-\frac{\mathrm{1,92}c{m}^{-1}\cdot l(l+1)}{\mathrm{207,22}c{m}^{-1}}\right)$$

Im Folgenden sind einige nach letzter Formel berechnete Werte angegeben:

$l$ : $N_l$/$N_0$ 0 : 1,00 1 : 2,95 2 : 4,73 3 : 6,26 4 : 7,48 5 : 8,33 6 : 8,81 7 : 8,93 8 : 8,72 9 : 8,25 10: 7,58 ... : ...

Stellt man diese Werte graphisch dar, dann erhält man folgendes theoretisches Rotationsspektrum für CO:

Zunächst dominiert der Entartungsfaktor $(2l+1)$ und dann der exponentielle Faktor. Dies führt zu einem Maximum bei $l=7$.

Folglich ist bei $T=\mathrm{298,15}\text{K}$ ein Großteil der Moleküle rotatorisch angeregt und man findet höhere Absorptionsübergänge (z.B. von $l=7$ nach $l=8$) im Spektrum. Bei einem Vergleich mit Schwingungen findet man dagegen, dass bei Raumtemperatur üblicherweise alle Moleküle im Schwingungsgrundzustand $\nu =0$ sind und außerdem keine Entartung auftritt. Bei Raumtemperatur ist also der Schwingungsgrundzustand immer am stärksten besetzt und der Übergang $\nu =0$ nach $\nu =1$ ist dominant.