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Tutorial MenueQuantentheorie und SpektroskopieLerneinheit 4 von 6

Quantentheorie und Spektroskopie: Rotationsspektroskopie

Kugelfunktionen

Die normierten Kugelfunktionen Y l m ( θ , φ ) lauten:

Y l , m ( θ , ϕ ) = 1 2 π Normierung Θ l , m ( θ ) e i m ϕ mit Θ l , m ( θ ) = ( 1 ) l 2 l l ! 2 l + 1 2 ( l + m ) ! ( l m ) ! 1 sin m θ d l m d ( cos θ ) l m sin 2 l θ .

Θ l m ( θ ) ist bis auf einen Faktor identisch mit dem zugeordneten Legendre-Polynom. Explizit erhält man folgende Formeln für l = 0 , 1 , 2 und m = l , l 1 , ... , l :

Y 0 , 0 = 1 2 1 π Y 1 , 0 = 3 4 π cos θ Y 1 , ± 1 = 3 8 π sin θ e ± i φ Y 2 , 0 = 5 4 π 1 4 ( 3 cos 2 θ 1 ) Y 2 , ± 1 = 5 4 π 3 2 ( cos θ sin θ e ± i φ ) Y 2 , ± 2 = 5 4 π 3 8 ( sin 2 θ e ± 2 i φ )

Die Kugelfunktionen sind Eigenfunktionen zu den Drehimpulsoperatoren

L 2 und L z , also gilt:

L 2 Y l , m ( θ , ϕ ) = 2 l ( l + 1 ) Y l , m ( θ , ϕ ) , l = 0 , 1 , 2 , ...
L 2 = 2 { 1 sin θ δ δ θ sin θ δ δ θ + 1 sin 2 θ δ 2 δ ϕ 2 } ( in Kugelkoordinaten )

und

L z Y l , m ( θ , ϕ ) = m Y l , m ( θ , ϕ ) , m = l , l 1 , ... , l
L z = i δ δ ϕ ( in Kugelkorrdinaten ) .

Anwendungen:

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