Kugelfunktionen

Die normierten Kugelfunktionen $Y_{lm}\left(\theta ,\phi \right)$ lauten:

$$\begin{array}{l}{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)=\underset{\mathrm{Normierung}}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}}}{\Theta }_{l,m}(\theta )\cdot e^{im\varphi }\\ \text{mit}\\ {\Theta }_{l,m}(\theta )=\frac{{(-1)}^l}{2^{l}l!}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\frac{1}{{sin}^m\theta }\frac{d^{l-m}}{d{(cos\theta )}^{l-m}}{sin}^{2l}\theta \text{.}\end{array}$$

${\Theta }_{lm}\left(\theta \right)$ ist bis auf einen Faktor identisch mit dem zugeordneten Legendre-Polynom. Explizit erhält man folgende Formeln für $l=0,1,2$ und $m=l,l-1,...,-l$:

$$\begin{array}{l}{Y}_{0,0}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\\ Y_{1,0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}cos\theta \\ Y_{1,\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}sin\theta e^{\pm i\phi }\\ Y_{2,0}=\sqrt{\frac{5}{4\pi }}\sqrt{\frac{1}{4}}\left(3{cos}^2\theta -1\right)\\ Y_{2,\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{5}{4\pi }}\sqrt{\frac{3}{2}}\left(cos\theta sin\theta e^{\pm i\phi }\right)\\ Y_{2,\pm 2}=\sqrt{\frac{5}{4\pi }}\sqrt{\frac{3}{8}}\left({sin}^2\theta e^{\pm 2i\phi }\right)\end{array}$$

Die Kugelfunktionen sind Eigenfunktionen zu den Drehimpulsoperatoren

$L^2$ und $L_z$, also gilt:

$$L^2{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)={\hslash }^{2}l(l+1)Y_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right),l=0,1,2,...$$

$$L^2=-{\hslash }^2\left\{\frac{1}{sin\theta }\frac{\delta }{\delta \theta }sin\theta \frac{\delta }{\delta \theta }+\frac{1}{{sin}^2\theta }\frac{{\delta }^2}{\delta {\varphi }^2}\right\}(\mathrm{in\; Kugelkoordinaten})$$

und

$$L_z{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)=\hslash m{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right),m=l,l-1,...,-l$$

$$L_z=-\frac{\hslash }{i}\frac{\delta }{\delta \varphi }(\mathrm{in\; Kugelkorrdinaten})\text{.}$$

Anwendungen:

• Drehimpulse
• Wasserstoff-Atom (Atomorbitale)
• starrer Rotator