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Tutorial MenueQuantenmechanikLerneinheit 4 von 4

Quantenmechanik: Heisenberg'sche Unschärferelation

Mittelwert, Streuung und Unschärfe in der Quantenmechanik

Den quantenmechanischen Mittelwert (="Erwartungswert") A einer Observablen A haben wir definiert als:

A = { Φ | A | Φ , Φ | Φ = 1 Φ | A | Φ Φ | Φ , Φ | Φ 1

Die quantenmechanische Streuung Str A einer Observablen A ist definiert als der Mittelwert der quadratischen Abweichung vom Mittelwert:

S t r A = Φ | ( A A 1 ¯ ) 2 | Φ = Φ | A 2 2 A A + A 2 1 ¯ | Φ = A 2 2 A A + A 2 = A 2 A 2 = Φ | A A | Φ ( Φ | A | Φ Φ | A | Φ )

A - A ist wie A ein Hermite'scher Operator, also kann der Ausdruck für S t r A umgeformt werden:

Str A = Φ | ( A A 1 ¯ ) 2 | Φ = Φ | ( A A 1 ¯ ) ( A A 1 ¯ ) | Φ = ( A A 1 ¯ ) Φ | ( A A 1 ¯ ) Φ = | ( A A 1 ¯ ) | Φ | 2

Die quantenmechanische Unschärfe Δ A ist definiert als:

Δ A = Str A = | ( A A 1 ) | Φ |

Also ist die Unschärfe der Observablen A gleich dem Betrag des Vektors (A- A 1 ¯ ) | Φ .

Die Definition der Unschärfe einer Observablen wird bei der Herleitung der Heisenberg'schen Unschärferelation auf der folgenden Seite benötigt.

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