Quantenmechanik: Heisenberg'sche Unschärferelation
Heisenberg'sche Unschärferelation: Herleitung für beliebige Observablen A und B
Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein: A' = A - A und B' = B - B. Mit diesen Kurzschreibweisen lauten die Ausdrücke für die Unschärfen der Observablen A und B:
Nach der Schwarz'schen Ungleichung gilt:
In der letzten Formel ist Im A' | B' der Imaginärteil des Skalarproduktes (siehe auch Hinweise zu den komplexen Zahlen), welcher wie folgt umgewandelt werden kann:
Mit
folgt die Heisenberg'sche Unschärferelation für beliebige Observablen A und B:
Die Heisenberg'sche Unschärferelation besagt, dass für unverträgliche (nicht gleichzeitig messbare) Observablen, für die der Kommutator [A,B] nicht verschwindet, das Produkt der Unschärfen größer Null ist.