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Tutorial MenueQuantenmechanikLerneinheit 4 von 4

Quantenmechanik: Heisenberg'sche Unschärferelation

Heisenberg'sche Unschärferelation: Herleitung für beliebige Observablen A und B

Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein: A' = A - A und B' = B - B . Mit diesen Kurzschreibweisen lauten die Ausdrücke für die Unschärfen der Observablen A und B:

Δ A = | A ' Φ | Δ B = | B ' Φ |

Nach der Schwarz'schen Ungleichung gilt:

Δ A Δ B = | A ' Φ | | B ' Φ | | A ' Φ | B ' Φ | | Im A ' Φ | B ' Φ |

In der letzten Formel ist Im A' Φ | B' Φ der Imaginärteil des Skalarproduktes (siehe auch Hinweise zu den komplexen Zahlen), welcher wie folgt umgewandelt werden kann:

Im A ' Φ | B ' Φ = 1 2 i { A ' Φ | B ' Φ A ' Φ | B ' Φ * } = 1 2 i { A ' Φ | B ' Φ B ' Φ | A ' Φ } = 1 2 i { Φ | A ' B ' | Φ Φ | B ' A ' | Φ } = 1 2 i Φ | A ' B ' B ' A ' | Φ = 1 2 i Φ | ( A A 1 ¯ ) ( B B 1 ¯ ) ( B B 1 ¯ ) ( A A 1 ¯ ) | Φ = 1 2 i Φ | A B B A | Φ = 1 2 i Φ | [ A , B ] | Φ

Mit

Δ A Δ B | Im A ' Φ | B ' Φ |

folgt die Heisenberg'sche Unschärferelation für beliebige Observablen A und B:

Δ A Δ B 1 2 | Φ | [ A , B ] | Φ |

Die Heisenberg'sche Unschärferelation besagt, dass für unverträgliche (nicht gleichzeitig messbare) Observablen, für die der Kommutator [A,B] nicht verschwindet, das Produkt der Unschärfen größer Null ist.

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