Heisenberg'sche Unschärferelation: Herleitung für beliebige Observablen A und B

Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein: A' = A - $\langle$A$\rangle$ und B' = B - $\langle$B$\rangle$. Mit diesen Kurzschreibweisen lauten die Ausdrücke für die Unschärfen der Observablen A und B:

$$\begin{array}{l}\Delta A=|A\text{'}\Phi |\\ \Delta B=|B\text{'}\Phi |\end{array}$$

Nach der Schwarz'schen Ungleichung gilt:

$$\Delta A\cdot \Delta B=|A\text{'}\Phi |\cdot |B\text{'}\Phi |\ge \left|\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle \right|\ge |Im\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle |$$

In der letzten Formel ist Im $\langle$ A' $\Phi$ | B' $\Phi$ $\rangle$ der Imaginärteil des Skalarproduktes (siehe auch Hinweise zu den komplexen Zahlen), welcher wie folgt umgewandelt werden kann:

$$\begin{array}{l}Im\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle =\frac{1}{2i}\left\{\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle -\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle {}^{*}\right\}\\ =\frac{1}{2i}\left\{\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle -\langle B\text{'}\Phi |A\text{'}\Phi \rangle \right\}\\ =\frac{1}{2i}\left\{\langle \Phi |A\text{'}B\text{'}|\Phi \rangle -\langle \Phi |B\text{'}A\text{'}|\Phi \rangle \right\}\\ =\frac{1}{2i}\langle \Phi |A\text{'}B\text{'}-B\text{'}A\text{'}|\Phi \rangle \\ =\frac{1}{2i}\langle \Phi |\left(A-\langle A\rangle \underset{¯}{1}\right)\left(B-\langle B\rangle \underset{¯}{1}\right)-\left(B-\langle B\rangle \underset{¯}{1}\right)\left(A-\langle A\rangle \underset{¯}{1}\right)|\Phi \rangle \\ =\frac{1}{2i}\langle \Phi |AB-BA|\Phi \rangle \\ =\frac{1}{2i}\langle \Phi \left|\left[A,B\right]\right|\Phi \rangle \end{array}$$

Mit

$$\Delta A\cdot \Delta B\ge \left|Im\langle A\text{'}\Phi |B\text{'}\Phi \rangle \right|$$

folgt die Heisenberg'sche Unschärferelation für beliebige Observablen A und B:

$$\Delta A\cdot \Delta B\ge \frac{1}{2}\left|\langle \Phi \left|\left[A,B\right]\right|\Phi \rangle \right|$$

Die Heisenberg'sche Unschärferelation besagt, dass für unverträgliche (nicht gleichzeitig messbare) Observablen, für die der Kommutator [A,B] nicht verschwindet, das Produkt der Unschärfen größer Null ist.