Beispiel für ein Matrixeigenwertproblem

Beispiel: Gesucht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $\text{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Lösung:

1. Schritt: Säkulardeterminante aufstellten: $\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right)=0$ .

2. Schritt: Als Polynom $n$-ten Grades in $\lambda$ hinschreiben: ${\lambda }^2$ - 1 = 0 .

3. Schritt: Bestimmung der $n$ Nullstellen ${\lambda }_i$ (= Eigenwerte) dieses Polynoms: ${\lambda }_1$ = +1, ${\lambda }_2$ = -1 (Eigenwerte)

4. Schritt: Die Eigenwerte ${\lambda }_i$ in das Eigenwertgleichungssystem $\left(\text{A}-\text{λ}1\right)|a\rangle =0$ einsetzen und die zugehörigen Koordinaten $a_1$, $a_2$, ... des Eigenvektors $|$ $a$ $\rangle$ bestimmen.

${\lambda }_1=+1$: $a_1=a_2$ ${\lambda }_2=-1$: $a_1=-a_2$ $\begin{array}{l}\lambda =+1\to {|a\rangle }_{\lambda =+1}=a_1\left(\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right)\\ \lambda =-1\to {|a\rangle }_{\lambda =-1}=a_1\left(\begin{array}{l}1\\ -1\end{array}\right)\end{array}$ 5. Schritt: Normierung (fakultativ): Die Freiheit in der Skalierung (Faktor $a_1$) wird üblicherweise zur Normierung verwendet. Bei den normierten Eigenvektoren ist $a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .