Lösung von Matrixeigenwertproblemen

Gesucht sind Vektoren $|$ $a$ $\rangle$ mit der Eigenschaft

$$A|a\rangle =\lambda |a\rangle$$

oder

$$\left(\text{A}-\text{λ}1\right)|a\rangle =0$$

Diese Eigenwertgleichung lautet ausführlich:

$$\begin{array}{l}\left({\text{A}}_{\text{11}}-\text{λ}\right)a_1+{\text{A}}_{\text{12}}{a}_2+\mathrm{...}=0\\ {\text{A}}_{\text{21}}{a}_1+\left({\text{A}}_{\text{22}}-\text{λ}\right)a_2+\mathrm{...}=0\\ {\text{A}}_{\text{31}}{a}_1+{\text{A}}_{\text{32}}{a}_2+\mathrm{...}=0\\ \mathrm{...}\end{array}$$

Es liegt also ein lineares homogenes Gleichungssystem vor. (Bei einer quadratischen Matrix mit $n$ Zeilen und $n$ Spalten erhält man $n$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten.) Die triviale Lösung lautet: $|a\rangle =0$, also $a_1=a_2=\text{...}=0$ (alle Komponenten des Spaltenvektors $|a\rangle$ sind gleich Null). Für die nicht-triviale Lösung: $|a\rangle \ne 0$ muss die so genannte Säkulardeterminante det (A-$\lambda$1) verschwinden:

$$det(A-\lambda \text{1})=0$$

Die letzte Gleichung heißt Säkulargleichung. Deren Lösung liefert die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. Die Vorgehensweise bei der Lösung wird im Folgenden anhand eines Beispiels erläutert.