Quantenmechanik: Hermite'sche Operatoren
Lösung von Matrixeigenwertproblemen
Gesucht sind Vektoren mit der Eigenschaft
oder
Diese Eigenwertgleichung lautet ausführlich:
Es liegt also ein lineares homogenes Gleichungssystem vor. (Bei einer quadratischen Matrix mit Zeilen und Spalten erhält man Gleichungen mit Unbekannten.) Die triviale Lösung lautet: , also (alle Komponenten des Spaltenvektors sind gleich Null). Für die nicht-triviale Lösung: muss die so genannte Säkulardeterminante det (A-1) verschwinden:
Die letzte Gleichung heißt Säkulargleichung. Deren Lösung liefert die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. Die Vorgehensweise bei der Lösung wird im Folgenden anhand eines Beispiels erläutert.