Eigenwertproblem eines Operators

Gesucht sind Vektoren $|a\rangle$ mit der Eigenschaft

$$A|a\rangle =\lambda |a\rangle$$

wobei $|a\rangle$ Eigenvektor und $\lambda$ Eigenwert genannt werden. Falls es zum Eigenwert $\lambda$ nur einen Eigenvektor $|$ $a$ $\rangle$ gibt, dann heißt er nicht-entartet. Dies gilt bis auf einen Faktor $c$, denn:

$$\text{A}|\text{a}\rangle =\lambda |\text{a}\rangle \Rightarrow \text{A}\left(\text{c}|\text{a}\rangle \right)=\lambda \left(\text{c}|\text{a}\rangle \right).$$

Die Freiheit in der Skalierung mit $c$ wird meist für die Normierung verwendet. Der Eigenwert $\lambda$ heißt entartet, falls zu $\lambda$ mehrere Eigenvektoren

$$|a_i\rangle ,i=1,2,...$$

existieren. Dabei ist jede Linearkombination der $|a_i\rangle$ wieder Eigenvektor des Operators A zum entarteten Eigenwert $\lambda$.

Spezialfall: Eigenwertproblem von Hermite'schen Operatoren

Quantenmechanische Observable werden durch Hermite'sche Operatoren dargestellt. Die Eigenwerte und Eigenvektoren eines Hermite'schen Operators haben besondere Eigenschaften, nämlich:

Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenvektoren von Hermite'schen Operatoren:

• Die Eigenwerte sind reell (wichtig, weil es nur reelle Messwerte gibt).
• Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
• Verschiedene Eigenvektoren zu einem entarteten Eigenwert können orthogonal gewählt werden.

Aus den beiden letzten Eigenschaften folgt, dass die Eigenfunktionen als orthonormierte Basis zur Darstellung von Vektoren und Operatoren verwendet werden können (manchmal "Eigenbasis" genannt).