Operatoren: Matrixdarstellung

Matrixdarstellung

Die Matrixelemente eines linearen Operators in einer orthonormierten Basis {$|$ $i$ $\rangle$} lauten:

$${(A)}_{ij}=a_{ij}=\langle i|A|j\rangle$$

Nun betrachten wir zwei Vektoren $|x\rangle$ und $|y\rangle$. Ihre Darstellung in der Basis {$|$ $i$ $\rangle$} sei:

$$\begin{array}{l}|x\rangle =\sum _j{x}_j|j\rangle \\ |y\rangle =\sum _j{y}_j|j\rangle \end{array}$$

$|y\rangle$ gehe aus $|x\rangle$ durch Anwendung des linearen Operators A hervor: $|y\rangle$ = A $|x\rangle$. Also gilt:

$$\sum _j{y}_j|j\rangle =\sum _j{x}_{j}A|j\rangle$$

Multiplikation mit $\langle i|$ liefert:

$$\begin{array}{l}\sum _j{y}_j\underset{{\delta }_{ij}}{\underbrace{\langle i|j\rangle }}=\sum _j{x}_j\underset{a_{ij}}{\underbrace{\langle i|A|j\rangle }}\\ y_i=\sum _j{x}_j\cdot a_{ij}\end{array}$$

Wir erhalten also die Komponenten des Vektors $|y\rangle$ aus denen von $|x\rangle$ durch Anwendung der zum Operator A gehörenden Matrix. Die Matrixdarstellung eines Operators hängt von der Basis ab (genauso wie die Darstellung von Vektoren).