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Tutorial MenueQuantenmechanikLerneinheit 2 von 4

Quantenmechanik: Operatoren

Operatoren: Definition, lineare Operatoren

Definition: Operator A
Ein Operator ist eine Vorschrift, die jedem Vektor (jeder Funktion) | x einen anderen Vektor (eine andere Funktion) | y eindeutig zuordnet:
| x A | y = A | x

Neben der Wellenfunktion sind in der Quantenmechanik Operatoren von fundamentaler Bedeutung. Ein Operator stellt eine mathematische Vorschrift dar, welche auf die auf den Operator folgende Funktion anzuwenden ist. In der Quantenmechanik wird jeder Observablen (d.h. jeder messbaren Größe) ein Operator zugeordnet. Beispiele für Operatoren sind:

x · , sin , x ,

Bei Anwendung eines Operators auf eine Funktion g( x ) resultiert im Allgemeinen eine neue Funktion f( x ), die mit g( x ) in keinem einfachen Zusammenhang steht:

 g( x ) = f( x )

Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die resultierende Funktion f( x ) proportional zu g( x ) ist:

Âg( x ) = a g( x )

So erhält man z.B. durch die Anwendung des Differentialoperators x auf die Funktion e a x die Beziehung:

x ( e a x ) = a e a x

die für beliebige a erfüllt ist.

Werden an die Funktion jedoch noch weitere Bedingungen, so genannte Randbedingungen, gestellt, so erfüllen nur noch bestimmte Funktionen die Gleichung, und man schreibt dafür:

A ˆ Ψ i = a i Ψ i

Die Funktionen Ψ i werden als Eigenfunktionen und die Zahlen a i als Eigenwerte des Operators unter den gegebenen Randbedingungen bezeichnet. Die entsprechenden Gleichungen heißen Eigenwertgleichungen. Sie haben in der Quantenmechanik eine große Bedeutung.

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