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Tutorial MenueQuantenmechanikLerneinheit 1 von 4

Quantenmechanik: Prinzipien

Verallgemeinerte Vektoren in der Quantenmechanik

Beispiele für verallgemeinerte Vektoren in der Quantenmechanik:
  1. Komplexe Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Komponenten. Komplexe Vektoren sind nichts anderes als eine Verallgemeinerung der dreidimensionalen Pfeile. Im Gegensatz zu den dreidimensionalen Pfeilen haben komplexe Vektoren nicht reelwertige sondern komplexwertige Komponenten und sind nicht anschaulich darstellbar
  2. Funktionen können als Vektoren in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum betrachtet werden. Sie können zum Beispiel in Taylorreihen entwickelt werden, dann sind die Entwicklungskoeffizienten der einzelnen Terme die Koordinaten dieser Vektoren. Im Falle von Funktionen geht das Skalarprodukt von der von den dreidimensionalen Pfeilen bekannten Summe über die Koordinaten in ein Integral über: f | g = f * ( x ) g ( x ) d x
Orthonormierte Basis:
Unter einer orthonormierten Basis verstehen wir einen Satz von Vektoren { | i }, die normiert und orthogonal zueinander sind ( δ i j heißt Kronecker-Symbol):
i | j = δ i j = { 0 , i j 1 , i = j

Die i -te Komponente eines Vektors | a ergibt sich in der Basis { | i } zu:

a i = i | a

Weiterhin fordern wir die Vollständigkeit der Basis. Dies heißt anschaulich, dass es zu jedem Vektor eine eindeutige Darstellung (Satz von Komponenten) gibt. Mathematisch wird die Vollständigkeitsrelation folgendermaßen formuliert:

| a = i | i a i = i | i i | a i | i i | = 1

In einer orthonormierten Basis erhält man für das Skalarprodukt:

a | b = i , j a i * b j i | j = i a i * b i
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