Beispiel Butadien: Eigenwerte

Die Hückel-Determinante von Butadien lautet:

$$\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 0& 0\\ 1& x& 1& 0\\ 0& 1& x& 1\\ 0& 0& 1& x\end{array}\right|=0\text{.}$$

Ausrechnen der Hückel-Determinante liefert folgendes Polynom 4. Grades:

$$x^4+3x^2+1=0$$

Daraus ergeben sich folgende Eigenwerte (Energien der HMOs):

$${\epsilon }_1=\alpha +\mathrm{1,618}\beta$$

$${\epsilon }_2=\alpha +\mathrm{0,618}\beta$$

$${\epsilon }_3=\alpha -\mathrm{0,618}\beta$$

$${\epsilon }_4=\alpha -\mathrm{1,618}\beta$$

Im Grundzustand von Butadien sind die beiden energetisch tiefsten MOs mit jeweils 2 Elektronen mit anti-parallelen Spins besetzt. Mit der Definition der π-Gesamtenergie folgt für Butadien im Grundzustand: $E^{\pi }=4\alpha +\mathrm{4,472}\beta$