Beispiel Ethen: Eigenvektoren (HMOs)

Zur Berechnung der Eigenvektoren für Ethen werden im ersten Schritt die berechneten Eigenwerte in das zur Determinante gehörige lineare Gleichungssystem (Säkulargleichungen) eingesetzt:

$$\left(\begin{array}{cc}\alpha -{\epsilon }_i& \beta \\ \beta & \alpha -{\epsilon }_i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{i1}\\ c_{i2}\end{array}\right)=0$$

$$0=c_{i1}(\alpha -{\epsilon }_i)+c_{i2}\beta$$

$$0=c_{i1}\beta +c_{i2}(\alpha -{\epsilon }_i)$$

Dabei nummeriert der Index $i$ die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren. Nun werden die Koeffizienten ($c_{\mathrm{ir}}$ ) unter Berücksichtigung der Normierungsbedingung ermittelt und als zu einem Energie-Eigenwert zugehöriger Eigenvektor dargestellt.

Für den ersten Eigenwert ($i$=1), ${\epsilon }_1=\alpha +\beta$, folgt:

$$0=c_{11}(\alpha -(\alpha +\beta \left)\right)+c_{12}\beta$$

$$0=c_{11}\beta +c_{12}(\alpha -(\alpha +\beta \left)\right)$$

Also gilt: $c_{11}=c_{12}$

D.h., im bindenden Hückel-Molekül-Orbital sind die Koeffizienten beider Atom-Orbitale gleich. Mit der Normierungsbedingung (Hinweis: Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Dieser Faktor wird üblicherweise durch Normierung festgelegt) ergeben sich folgende Koeffizienten:

$$1=\sum _{r=1}^n{c}_{ir}^2$$

liefert hier

$$1=c_{\mathrm{11}}^2+c_{\mathrm{12}}^2\text{mit}{c}_{11}=c_{12}$$

$$c_{\mathrm{11}}=c_{\mathrm{12}}=1/\sqrt{2}=\mathrm{0,707}.$$

Analog liefert der zweite Eigenwert ${\epsilon }_2$ ($i$=2) die Koeffizienten des normierten antibindenden Hückel-MOs: $c_{21}=c_{22}$ = 0,707.

Die Hückel-Molekül-Orbitale (HMOs) des Ethens lauten dann in übersichtlicher Matrix-Schreibweise:

In der folgenden Abbildung sind die Hückel-Molekü-Oorbitale (HMOs) dargestellt (Kohlenstoff-Atome: Atom-Nr. 1 und 2, Wasserstoff-Atome: Atom-Nr. 3-6):