Hückel-MO: Beispiele
Beispiel Ethen: Eigenvektoren (HMOs)
Zur Berechnung der Eigenvektoren für Ethen werden im ersten Schritt die berechneten Eigenwerte in das zur Determinante gehörige lineare Gleichungssystem (Säkulargleichungen) eingesetzt:
Dabei nummeriert der Index die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren. Nun werden die Koeffizienten ( ) unter Berücksichtigung der Normierungsbedingung ermittelt und als zu einem Energie-Eigenwert zugehöriger Eigenvektor dargestellt.
Für den ersten Eigenwert (=1), , folgt:
Also gilt:
D.h., im bindenden Hückel-Molekül-Orbital sind die Koeffizienten beider Atom-Orbitale gleich. Mit der Normierungsbedingung (Hinweis: Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Dieser Faktor wird üblicherweise durch Normierung festgelegt) ergeben sich folgende Koeffizienten:
liefert hier
Analog liefert der zweite Eigenwert (=2) die Koeffizienten des normierten antibindenden Hückel-MOs: = 0,707.
Die Hückel-Molekül-Orbitale (HMOs) des Ethens lauten dann in übersichtlicher Matrix-Schreibweise:
- Tab.1
- Koeffizienten der HMOs von Ethen
MO 1 | MO 2 | |
---|---|---|
AO 1 | 0,707 | 0,707 |
AO 2 | -0,707 | 0,707 |
Charakter | bindend | antibindend |
In der folgenden Abbildung sind die Hückel-Molekü-Oorbitale (HMOs) dargestellt (Kohlenstoff-Atome: Atom-Nr. 1 und 2, Wasserstoff-Atome: Atom-Nr. 3-6):