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Tutorial MenueHückel-MOLerneinheit 2 von 6

Hückel-MO: Beispiele

Beispiel Ethen: Eigenwerte (Orbitalenergien)

Zunächst dividieren wir die Säkulardeterminante für Ethen durch β

| α ε β β α ε | = | α ε β 1 1 α ε β | = 0

und führen folgende Abkürzung ein:

x = α ε β .

Mit dieser Abkürzung erhält man eine zweite Schreibweise für die Säkulardeterminante des Ethen-Moleküls, welche in dieser Form auch als Hückel-Determinante bezeichnet wird. Die Ausrechnung der Hückel-Determinante führt zu einem Polynom n -ten Grades, wobei n die Anzahl der Basisfunktionen im LCAO-Ansatz ist (im Fall neutraler Kohlenwasserstoffe, z.B. Ethen und Butadien, ist die Anzahl der Basisfunktionen gleich der Anzahl der π-Elektronen und der Anzahl der konjugierten C-Atome):

| x 1 1 x | = x 2 1 = 0 .

Die Bestimmung der n Nullstellen dieses Polynoms liefert die n Eigenwerte (für Ethen ist n = 2): x 1 = +1 → ε 1 = α + β , x 2 = -1 → ε 2 = α - β . Die berechneten Eigenwerte entsprechen den Energien der Hückel-Molekül-Orbitale, welche sich als Eigenvektoren des vorliegenden Eigenwertproblems ergeben (siehe nächste Seite).

Im Grundzustand von Ethen ist das energetisch niedrigste MO mit zwei Elektronen mit anti-parallelen Spins besetzt. Mit der Definition der π-Gesamtenergie folgt für Ethen im Grundzustand: E π = 2 α + 2 β .

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