Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung erhält man für eine größere Anzahl von $n$ aus der Binomial-Verteilung, falls die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines der beiden Ergebnisse sehr gering ist ($p<\mathrm{0,01}$: ganz selten weiße Kugel aus Korb mit weißen und schwarzen Kugeln) und wenn die Anzahl der Versuche relativ groß ist ($n>100$). Außerdem sollte das Produkt aus beiden konstant sein (also der Mittelwert: $n\cdot p\le 20$). Dieser Mittelwert $\mu$ wird bei der Poisson-Verteilung häufig auch als $\lambda$ bezeichnet und spielt bei der Berechnung der Verteilung eine große Rolle. Die Poisson-Verteilung ist ein theoretisches Verteilungsmodell für eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganzzahlige positive Werte und den Wert Null annehmen kann.

$$p\left(x,\lambda \right)=\frac{{\text{e}}^{-\lambda }\cdot {\lambda }^x}{x!}$$

• Die Varianz ergibt sich zu: $\lambda$
• Der Erwartungswert ist: $\lambda$

Falls die Anzahl der Ereignisse $n$ sehr groß und die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens $p=\mathrm{0,5}$ wird, so wird aus der Binomial-Verteilung bzw. der Poisson-Verteilung die Gaußsche Normalverteilung. Gewisse Verteilungen lassen sich in Grenzfällen durch andere, unter Umständen einfachere Verteilungen approximieren (Vermeiden der Berechnung von Binomialkoeffizienten bei großen Werten für $x$ bzw. $m$).

Animation zur Poisson-Verteilung