Dichtefunktion

• Die Dichtefunktion wird dazu verwendet, um zu erkennen, welche Wertebereiche der Zufallsvariablen wahrscheinlicher sind als andere. Aus der Verteilungsfunktion für kontinuierliche Zufallsvariablen ist dies nicht unmittelbar möglich.
• Sie ist quasi das Pendant zur Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Zufallsvariablen und wird auch ähnlich bezeichnet: $f(x)$. Jedoch lässt sich aus der Dichtefunktion $f(x)$ nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeit konkreter Werte (z.B. $X=\mathrm{1,2367}$) ablesen, da diese bei kontinuierlichen Zufallsvariablen immer Null ist. Nur für einen Wertebereich ($a\le X\le b$) lässt sich eine Wahrscheinlichkeit angeben. Sie entspricht dem Integral der Dichtefunktion in den Grenzen von $a$ bis $b$:$$W(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\cdot \text{d}x=F(b)-F(a)$$
• Da die Integration nur eine Umkehrung der Differentiation ist, erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man die Differenz $F(b)-F(a)$ der Werte der Verteilungsfunktion an den Stellen $a$ und $b$ bildet.
• Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet man praktischerweise immer die Verteilungsfunktion.