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Tutorial MenueStatistikLerneinheit 3 von 4

Statistische Verteilungsfunktionen

Boltzmann'sche Energieverteilung

Die Maxwell-Boltzmann-Statistik erlaubt es, einen Ausdruck für die wahrscheinlichste Verteilung von N Einzelsystemen (z.B. aller Teilchen eines idealen Gases) über deren mögliche Mikrozustände (Quantenzustände) i mit der Energie E i anzugeben. Die Maxwell-Boltzmann-Statistik macht keine speziellen (quantenmechanischen) Annahmen über die Zulässigkeit der Realisierung gleicher Energieniveaus durch verschiedene Einzelsysteme (Teilchen) und wird deshalb als klassische Statistik bezeichnet.

Sie ist ein Grenzfall der Quantenstatistiken (Fermi-Dirac- und Bose-Einstein-Statistik), bei denen eben gerade Randbedingungen der Quantenmechanik berücksichtigt werden. (Eine solche Randbedingung ist z.B. das Pauli-Prinzip, welches besagt, dass zwei Fermionen (Teilchen mit ungeradzahligem Gesamtspin) keinen Energiezustand besetzen dürfen, in dem alle Quantenzahlen übereinstimmen.)

Herleitung

Für die Herleitung der Boltzmann-Verteilung benutzt man folgendes (klassisches) Modell:

  • Das System bestehe aus N Teilchen.
  • Die Teilchen seien voneinander unterscheidbar, man kann sie sich beispielsweise nummeriert vorstellen.
  • Die Teilchen seien unabhängig voneinander, d.h. sie sollen sich nicht gegenseitig beeinflussen können.
  • Jedes der betrachteten Teilchen möge in einem der Energiezustände E 0 , E 1 , ... vorliegen können; die Anzahl der Teilchen in diesen Niveaus bezeichne man mit N 0 , N 1 , ...
  • Insgesamt liegen r Energiezustände vor.

Darüber hinaus müssen zwei Randbedingungen berücksichtigt werden:

  1. Die Gesamtanzahl der Teilchen N ist vorgegeben: i = 0 r 1 N i = N
  2. Die Gesamtenergie des Systems ist festgelegt: i = 0 r 1 N i E i = E

Unter diesen Voraussetzungen stellt sich als wahrscheinlichste Verteilung die Boltzmann'sche Energieverteilung ein, die gegeben ist durch:

N i N = e E i k T j e E j k T

Dabei ist k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.

Video

Abb.1
Praktikumsversuch "Luftkissentisch" zur Boltzmann-Verteilung

Im Bideo liegt ein einfaches Modell vor, in dem sich die Teilchen im System (Kugeln) nur in 2 Zuständen mit den Energien E 1 und E 2 befinden können.

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