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Tutorial MenueStatistikLerneinheit 4 von 4

Fehlerfortpflanzung

Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Die Fehlerfortpflanzung nach Doerffel besteht aus speziellen Fällen der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung. Dies soll an einem einfachen Beispiel bei einem Quadrat gezeigt werden.

Die Fläche F einer Tischplatte ergibt sich als F a b = a b . Sind die Kantenlängen fehlerbehaftet, erhält man e a und e b als Fehler. Somit gilt:

F a b = a ± e a b ± e b F a b = a b ± a e b ± b e a ± e a e b

Für den Fehler der Fläche e F gilt:

e F = ± a e b ± b e a ± e a e b e F = ± a e b ± b e a

Beim Fehler in der Fläche kann das Fehlerprodukt e a e b vernachlässigt werden. Ein Fehler in a macht sich desto mehr bemerkbar, je größer der Fehler in b ist und umgekehrt. Ersetzt man nun diese Parameter a und b durch die Ableitungen der Zielgröße, so erhält man:

F a b a = b F a b b = a

Einsetzen der Gleichung in die obige Gleichung führt zu:

e F = ± F a b a e a ± F a b b e b

Nach dem Quadrieren der Gleichung erhält man:

e F 2 = F a b a 2 e a 2 + F a b b 2 e b 2 + 2 ρ e a e b F a b a F a b b

In der Gleichung beschreibt ρ die Anzahl der gleichsinnigen bzw. gegensinnigen Vorzeichen. Werden a und b völlig unabhängig voneinander bestimmt und wird zwischen beiden kein Zusammenhang bestehen, dann wird ρ = 0 . Sind aber a und b normalverteilte Zufallsvariable, so ist e F 2 eine mittlere quadratische Abweichung, also die Varianz der jeweiligen Stichprobe.

Somit ergibt sich das allgemeine Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz als:

var F a b var F a b = F a b a 2 var a + F a b b 2 var b + 2 ρ F a b a F a b b sdv a sdv b

Das Produkt ρ sdv a sdv b = cov a b wird auch als Covarianz bezeichnet.

Für eine beliebige Funktion f p i , die von endlich abzählbar vielen Variablen p i mit i 1 2 3 n abhängt, kann verallgemeinert ausgedrückt werden:

var f p i = f p i p i 2 var p i + k l f p i p k f p i p l cov p k p l

In einem Spezialfall mit unabhängigen Variablen, der am häufigsten verwendet wird, verschwindet der Covarianzterm und es gilt:

σ f p i = f p i p 1 2 σ p 1 2 + f p i p 2 2 σ p 2 2 + + f p i p n 2 σ p n 2
  • Nach dieser Formel wird der mittlere Fehler des Ergebnisses aus den mittleren Fehlern der Eingangsdaten ermittelt.
  • Beim Beispiel der Fläche F hängen normalerweise die Kanten nicht voneinander ab, so dass keine Covarianz auftritt. Dies wäre anders, wenn z.B. gefordert würde, dass die Gesamtkantenlänge festgelegt ist oder dass es sich um ein Quadrat handeln würde ( a = b ).
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