Varianz des Mittelwerts

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie die einzelnen Daten um den Mittelwert verteilt sind, d.h. wie stark die Daten um den Mittelwert streuen.

Für die Varianz $var\left(x\right)$ aus $n$-facher Anzahl von Daten $x_i$ gilt:

Definition

$$var\left(x\right)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2\right)$$

Hierbei wird durch $n-1$ geteilt, weil der in die Formel eingesetzte Mittelwert aus den Daten berechnet wird. Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade reduziert. Bei der Berechnung der Varianz wird das Quadrat verwendet, da damit weiter außerhalb liegende Punkte das Ergebnis stärker beeinflussen.

Beispiel

Im Würfelbeispiel wird der berechnete Mittelwert von 3,33 eingesetzt. Die Varianz ergibt sich damit zu:

$$s^2=var\left(x\right)=\frac{1}{15-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mathrm{3,33}\right)}^2\approx \mathrm{3,52}$$

Varianz des wahren Werts

Bezieht man sich jedoch nicht auf den Mittelwert$\overline{x}$, sondern auf den wahren Wert $\mu$, so teilt man nicht durch $n-1$, sondern durch $n$. Man spricht auch oft vom Fehler der Einzelmessung bzgl. des wahren Werts:

Definition

$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\mu }^2\right)$$

Dabei werden griechische Symbole (Bezug auf den wahren Wert) statt lateinischer Buchstaben (Bezug auf den berechneten Mittelwert) gewählt:${\sigma }^2$ (Varianz) oder$\sigma$ (Standardabweichung).

Beispiel

Im Würfelbeispiel ist der wahre Wert dadurch charakterisiert, dass man von einem idealen Würfel ausgeht, und bei vielen Würfen im Schnitt $\mathrm{3,5}$ erhält. Der wahre Wert ist dann $\mathrm{3,5}$. Die Varianz bezüglich des wahren Werts ergibt sich im Würfelbeispiel zu:

${\sigma }^2=\frac{1}{15}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mathrm{3,5}\right)}^2\approx \mathrm{3,32}$