zum Directory-modus

Tutorial MenueAtomabsorptionsspektrometrieLerneinheit 8 von 10

Spektrallinien

Die natürliche Linienbreite

Die natürliche Linienbreite ist die immer vorhandene minimale Linienbreite, hervorgerufen durch die begrenzte Lebensdauer τ   angeregter Zustände. Typisch für optische Übergänge ist eine mittlere Lebensdauer von τ = 10 9  -  10 8   s . Sowie eine klassische elektromagnetische Strahlungsquelle durch Abstrahlung Energie verliert, entvölkert sich ein angeregter Atomzustand. Man kann durch quantenmechanische Rechnungen zeigen, dass die Anzahl der Atome in einem angeregten Zustand im Laufe der Zeit exponentiell abnimmt:

N ( t ) = N 0 e λ t λ = 1 τ

Hier ist τ die mittlere Lebensdauer des angeregten Atomzustandes ( λ ein Parameter), N 0 die Anzahl der Atome im angeregten Zustand zur Zeit t = 0 und entsprechend N ( t ) deren Anzahl zum Zeitpunkt t . Man beobachtet entsprechend eine exponentielle Abnahme der Strahlungsintensität I , wie es nach dem Korrespondenzprinzip zu erwarten ist:

I ( t ) = I 0 e λ t .

Da die Strahlungsintensität proportional zum Quadrat der Amplitude A des elektrischen oder des dazu proportionalen magnetischen Feldes ist, gilt:

A ( t ) = A 0 e - λ 2 t e i ω 0 t .

Dabei ist ω 0 die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung (das ist ihre mit 2 π multiplizierte Frequenz ν 0 ). Vor dem Zeitpunkt t = 0 sei kein Feld vorhanden. Dann kann man eine Fourier-Transformation durchführen und erhält:

A ˆ ( ω ) = 0 A 0 e λ 2 t e i ω 0 t e i ω t d t = A 0 0 e ( λ 2 + i ( ω ω 0 ) ) t d t = A 0 λ 2 + i ( ω ω 0 ) | A ˆ ( ω ) | 2 = A 0 2 ( ω ω 0 ) 2 + ( λ 2 ) 2

Da die Spektralverteilung der Intensität proportional zum Betragsquadrat dieser Fourierzerlegung ist, hat die Linie die Form einer Lorentz-Kurve:

I ˆ ( ω ) = I ˆ 0 ( λ 2 ) 2 ( ω ω 0 ) 2 + ( λ 2 ) 2 .

Unter der Halbwertsbreite einer Spektrallinie versteht man ihre Breite auf der halben Höhe ihres Spitzenwertes. Für ein Lorentz-Profil ist diese gleich dem Parameter λ :

Δ ω 1 / 2 = λ = 1 τ .

Für τ = 10 8  s ist also Δ ω 1 / 2 = 100  MHz oder ν 15 , 9  MHz . Dies ist um ein Vielfaches kleiner als die Dopplerverbreiterung.

Aus der obigen Formel folgt:

Δ ω 1 / 2 τ = 1 Δ E 1 / 2 = h Δ ν 1 / 2 = h Δ ω 1 / 2 2 π   Δ E 1 / 2 τ = .

Das ist nichts anderes als die Energie-Zeit-Unschärferelation analog zur Heisenberg'schen Unschärferelation mit dem Planck'schen Wirkungsquantum h .

Seite 2 von 5