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Tutorial MenueAtomabsorptionsspektrometrieLerneinheit 2 von 10

Atombau

Berechnung der Energieniveaus

Die zu den Kreisbahnen gehörenden Energien lassen sich anhand der Bohrschen Postulate (Bohr'sche Postulate) berechnen. Zunächst kann, wie in der Mechanik gezeigt wird, die Mitbewegung des Kerns (Protons mit Masse m p ) dadurch berücksichtigt werden, dass man die Elektronenmasse m e durch die reduzierte Masse μ ersetzt:

1 μ = 1 m e + 1 m p

Die Coulomb-Kraft wirkt als die nötige Zentripetalkraft, also gilt:

Z e 2 4 π ε 0 r 2 = μ v 2 r = p v r

Dabei ist Z die Kernladungszahl, r der Radius der Kreisbahn, v die Geschwindigkeit des Elektrons, ε 0 die absolute Dielektrizitätstkonstante des Vakuums und p sein Impuls. Daraus folgt:

Z e 2 4 π ε 0 v = p r = L = n h 2 π L =  Drehimpuls n = 1,2,3,... =  Hauptquantenzahl h =  Planck'sches Wirkungsquantum

Damit sind v und r festgelegt:

v = Z e 2 4 ε 0 n h und r = n h 2 π μ v = ε 0 n 2 h 2 π μ Z e 2

Die Gesamtenergie E mit kinetischer Energie T und potenzieller Energie V kann dann berechnet werden zu:

E = T + V = μ v 2 2 Z e 2 4 π ε 0 r = μ Z 2 e 4 8 ε 0 2 n 2 h 2 μ Z 2 e 4 4 ε 0 2 n 2 h 2 = μ Z 2 e 4 8 ε 0 2 h 2 1 n 2

Damit kann das Spektrum des Wasserstoffs vollständig beschrieben werden, denn alle Spektrallinien entstehen durch Übergänge zwischen diesen Energieniveaus:

v m n = E m n h = E m E n h = μ Z 2 e 4 8 ε 0 2 h 3 ( 1 n 2 1 m 2 )

Der Faktor vor der Differenz in Klammern ist mit Z = 1 die Rydberg-Konstante:

R H = μ e 4 8 ε 0 2 h 3 = 3,2898423 10 15   Hz

Die Rydberg-Konstante R H ist hier in Hertz angegeben.

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