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Metallkristalle - Strukturen reiner Metalle

Berechnungen der Packungsdichten

Zur Berechnung der Teilchen-Packungsdichte werden die Kugeln in der Elementarzelle ausgezählt. Die kubisch raumzentrierte Struktur enthält pro Elementarzelle (1 + 8·⅛ = 2) Formeleinheiten, die kubisch flächenzentrierte Zelle enthält (6·½ + 8·⅛ = 4) Formeleinheiten und hat damit die größere Packungsdichte. Um die Raumerfüllung zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor (alle Kugeln sind in ihrer Dimension identisch): Die Kantenlänge der kubischen Zellen beträgt a, das Volumen der Zellen ist jeweils V = a 3 .

Im Falle der raumzentrierten Struktur beträgt der Kugelradius genau ¼ der Raumdiagonalen, im Falle der flächenzentrierten Struktur genau ¼ der Flächendiagonalen. Damit ergeben sich folgende Raumerfüllungen:

Abb.1
Kubisch raumzentriert
Abb.2
Kubisch flächenzentriert

Berechnung

Tab.1
Kubisch raumzentriertKubisch flächenzentriert
2 · V K u g e l = 2 · 4 3 π · ( r K u g e l ) 3 r K u g e l = 3 a 4 2 · V K u g e l V Z e l l e = 2 4 3 π ( 3 a 4 ) 3 1 a 3 = 3 π 8 0,68017 68,0 % 4 VKugel = 4 4 3 π ( rKugel ) 3 rKugel = 2 a 4 4 VKugel VZelle = 4 4 3 π ( 2 a 4 ) 3 1 a 3 = 2 π 6 0,74048 74,0 %
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