Diffusion durch die gebildete poröse Produktschicht als geschwindigkeitsbestimmender Teilvorgang

Modellvoraussetzung:

• Die Konzentration der gasförmigen Komponente A an der Oberfläche des Feststoffteilchens ist gleich der Konzentration in der Gasphase.
• Die Konzentration unter der gebildeten Produktschicht, also am Reaktionsort, geht jedoch gegen null.
• Die Umsetzungsgeschwindigkeit der Komponente A ist deshalb gleich der Geschwindigkeit, mit der sie durch die gebildete Produktschicht diffundiert.
• Die Geschwindigkeit der Abreaktion entspricht der Diffusionsstromdichte j_A durch die Produktschicht zur Zeit t.

$$-\frac{d{n}_A}{dt}=\left(4\pi r^2\right)\cdot j_A=\left(4\pi r_0\right)\cdot j_{A,s}=\text{konstant}$$

t gibt die Zeit wieder, die vergeht, bis die Reaktion von r₀ bis zu r fortgeschritten ist.

$$t=\frac{{\rho }_B\cdot r_0}{6\cdot \upsilon \cdot D_{\mathrm{eff}}\cdot c_A}\cdot \left[1-3\cdot {\left(\frac{r}{r_0}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{r}{r_0}\right)}^3\right]$$

Herleitung

Die Zeit, die für den kompletten Umsatz des Feststoffes, d.h. r = 0, benötigt wird, wird mit dem Buchstaben τ bezeichnet:

$$\tau =\frac{{\rho }_B\cdot r_0}{6\cdot \upsilon \cdot D_{\mathrm{eff}}\cdot c_A}$$

Die reduzierte Reaktionszeit t/τ

$$\frac{t}{\tau }=\left[1-3\cdot {\left(\frac{r}{r_0}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{r}{r_0}\right)}^3\right]$$

kann auch als Funktion des Umsatzgrades des Festoffes X_B ausgedrückt werden. Der Anteil des noch nicht umgesetzten Feststoffes [1-X_B ] ist:

$$1-X_B=\left(\frac{\text{Volumen des nicht umgesetzten Feststoffes}}{\text{Gesamtvolumen des ursprünglichen Partikels}}\right)=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r_0}={\left(\frac{r_{}}{r_0}\right)}^3$$

Der Zusammenhang zwischen dem Radius des Teilchens, der Reaktionszeit und dem Umsatz ist gegeben durch:

$$\frac{t}{\tau }=\left[1-3\cdot {\left(1-X_B\right)}^{\frac{2}{3}}+2\cdot \left(1-X_B\right)\right]$$