Skalare und Vektoren stehen in einem engen Verhältnis zueinander. Werden zwei Vektoren miteinander skalar multipliziert, so ergibt sich als Resultat ein Skalar, das Skalarprodukt. Dieses Skalarprodukt entsteht dadurch, dass von den beiden Vektoren jeweils die miteinander korrespondierenden Komponenten multipliziert und die so erhaltenen Produkte anschließend addiert werden.

Fachgebiet - Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis wird, in Analogie zur Euklidischen Geometrie, ein Skalarprodukt ($\langle a|b\rangle$, oder $\langle a,b\rangle$) über einem (verallgemeinerten) Vektorraum definiert, das die Metrik des Raumes, d.h. die Lagebeziehung der Funktionen (Vektoren) zueinander, festlegt.

Dabei sollen folgende Regeln gelten:

• Linearität: $$\begin{array}{ll}\langle a|b+c\rangle =\langle a|b\rangle +\langle a|c\rangle \hfill & \text{(Distributivgesetz) und}\hfill \\ \langle a|\text{λ}b\rangle =\text{λ}\langle a|b\rangle \hfill & \text{(Assoziativgesetz)}\hfill \end{array}$$
• Symmetrie$$\begin{array}{cc}\langle \text{a}|\text{b}\rangle ={\langle \text{b}|\text{a}\rangle }^{*}& \text{(Kommutativgesetz)}\end{array}$$
• Das Ergebnis sei skalar und positiv definit: $$\begin{array}{l}\langle \text{a}|\text{b}\rangle =\text{λ}\hfill \\ \langle \text{a}|\text{a}\rangle ={\left|a\right|}^2\ge 0\hfill \end{array}$$

Mit diesen Regeln können über einem Raum verschiedene Skalarprodukte definiert werden.

Fachgebiet - Physik

In der Physik wird weitgehend die Definition

$$\langle \text{a}|\text{b}\rangle ={\displaystyle \underset{\Omega }{\iint }\cdots {\displaystyle \int a^{*}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)b(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\text{d}}}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_n$$

verwendet, wobei $a^{*}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ die zu $a$ komplex konjugierte Funktion und $\Omega$ der gesamte Definitionsbereich der Funktionen $a$ und $b$ ist.