zum Directory-modus

SkalarproduktZoomA-Z

Skalare und Vektoren stehen in einem engen Verhältnis zueinander. Werden zwei Vektoren miteinander skalar multipliziert, so ergibt sich als Resultat ein Skalar, das Skalarprodukt. Dieses Skalarprodukt entsteht dadurch, dass von den beiden Vektoren jeweils die miteinander korrespondierenden Komponenten multipliziert und die so erhaltenen Produkte anschließend addiert werden.

Fachgebiet - Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis wird, in Analogie zur Euklidischen Geometrie, ein Skalarprodukt (a|b, oder a,b) über einem (verallgemeinerten) Vektorraum definiert, das die Metrik des Raumes, d.h. die Lagebeziehung der Funktionen (Vektoren) zueinander, festlegt.

Dabei sollen folgende Regeln gelten:

  • Linearität: a|b+c=a|b+a|c(Distributivgesetz) unda|λb=λa|b(Assoziativgesetz)
  • Symmetriea|b=b|a*(Kommutativgesetz)
  • Das Ergebnis sei skalar und positiv definit: a|b=λa|a=|a|20

Mit diesen Regeln können über einem Raum verschiedene Skalarprodukte definiert werden.

Fachgebiet - Physik

In der Physik wird weitgehend die Definition

a|b=Ωa*(x1,x2,,xn)b(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn

verwendet, wobei a*(x1,x2,,xn) die zu a komplex konjugierte Funktion und Ω der gesamte Definitionsbereich der Funktionen a und b ist.

Lerneinheiten, in denen der Begriff behandelt wird

Quantenmechanik: PrinzipienLevel 290 min.

ChemieTheoretische ChemieQuantenmechanik

Es werden der Formalismus und wichtige Begriffe der Quantenmechanik eingeführt, insbesondere werden hier die Begriffe Wellenfunktion, Normierung, Wahrscheinlichkeitsinterpretation besprochen, das Skalarprodukt, die Bra-Ket-Schreibweise, das Pauli-Prinzip sowie die zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung definiert und auf die Korrespondenz zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik eingegangen.

Skalarprodukt von VektorenLevel 330 min.

MathematikVektorenVektoren

Zwei Arten der Multiplikation zweier Vektoren sind üblich. Die erste Form heißt das Skalarprodukt, da es eine Zahl (Skalar) als Ergebnis liefert. Sie soll gegenstand dieser Lerneinheit sein.