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QuantilZoomA-Z

Fachgebiet - Statistik

Quantile sind sogenannte Lageparameter, die in der deskriptiven Statistik genutzt werden, um die Lage von Messwerten einer Verteilung zu beschreiben. Ein p- oder (p100)%-Quantil Qp ist der oberste Wert eines Messwertbereiches [,Qp], in dem 100p% aller Messwerte einer Verteilung liegen. p ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1.

Allgemein ist das Quantil einer normalverteilten Messwertreihe (Gauß-Verteilung) gegeben durch:

P(UQp)=φ(Qp)=p
Legende
P(UQp)-Wahrscheinlichkeit, dass Zufallsgröße U höchstens den Wert Qp annimmt
φ-Standardnormalverteilung

Beispielsweise sei das Quantil Q0,975=1,96, d.h. innerhalb von [;1,96] sind 97,5% aller Messwerte zu finden.

Diskontinuierliche Verteilungen von Messwerten werden zur Bestimmung der Quantile durch eine geordnete Messwertreihe angegeben:

x1x2xmxm+1xn

Einige Quantile haben besondere Bezeichnungen. Beispiele sind:

  • Perzentile zerlegen eine Verteilung in 100 gleich große Teile, also 1%-Segmente. So entspricht ein 97%-Perzentil einem 97%-Quantil.
  • Dezile zerlegen eine Verteilung in zehn gleich große Teile. Unterhalb des vierten Dezils liegen also 40% aller Werte einer Verteilung.
  • Quintile zerlegen eine Verteilung in fünf gleich große Teile. Unterhalb des zweiten Quintils liegen also 40% aller Werte einer Verteilung.
  • Quartile zerlegen eine Verteilung in vier gleich große Teile. Unterhalb des zweiten Quartils liegen also 50% aller Werte einer Verteilung, es entspricht dem Median.

Die Bestimmung der Quantile ist in der Literatur nicht einheitlich. Eine Vorgehensweise ist:

p=mnQp={12(xnp+xnp+1)wenn np eine ganze Zahlx[np]+1wenn np keine ganze Zahl
Legende
p-Wahrscheinlichkeitswert
m-Messwertindex (Anzahl Messwerte)
n-Gesamtanzahl Messwerte

Beispielsweise wäre bei 16 Messwerten das 25%-Quantil (unteres Quartil):

Q0,25=12(x160,25+x160,25+1)=12(x4+x5)

und das 10%-Quantil (Dezil):

Q0,1=x[160,1]+1=x2

Die Schreibweise [np] bedeutet, dass nur der ganzahlige Wert berücksichtigt wird.

Siehe auch: Mittelwert , Modus

Lerneinheiten, in denen der Begriff behandelt wird

MedianstatistikLevel 120 min.

ChemieAnalytische ChemieChemometrie

Grundlagen und Begriffe der Medianstatistik werden erklärt.