Fachgebiet - Quantenphysik

Zwei Wellenfunktionen ${\psi }_i$ und ${\psi }_j$ heißen zueinander orthogonal, wenn gilt:

$$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\psi }_i^{\ast }\left(r,t\right){\psi }_j\left(r,t\right)d\tau =0\text{.}$$

Anmerkung: Bei Vektoren tritt an die Stelle des Integrals das Skalarprodukt.

Die einzelnen Wellenfunktionen, aus denen eine Gesamtwellenfunktion gebildet werden soll, werden in der Regel orthogonal zueinander gewählt, z.B. die Atomorbitale beim LCAO-Ansatz oder die Molekülorbitale der Hartree-Fock-Näherung.

Fachgebiet - Mathematik

In der Mathematik bezeichnet die Orthogonalität (von griechisch orthogonal "rechtwinklig") die Lagebeziehung zweier Objekte (z.B. Geraden, Ebenen, Vektoren), bei der diese einen Winkel von 90° (rechter Winkel) einschließen, also senkrecht aufeinander stehen.

In der Funktionaltheorie wird der Begriff dahingehend erweitert, dass zwei Vektoren (Funktionen) $|a\rangle$ und $|b\rangle$ genau dann zueinander orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet

$$\langle a|b\rangle =0$$

In der linearen Algebra heißt eine reelle quadratische Matrix $A$ orthogonal, wenn gilt:

$$\begin{array}{cc}{A}^{T}A=E& \begin{array}{l}{A}^T=\text{zu }A\text{ transponierte Matrix}\\ E=\text{Eins-Matrix}\end{array}\end{array}$$

Die Anwendung einer orthogonalen Matrix auf einen Satz von Vektoren nennt man auch eine Orthogonaltransformation (oder Rotation). Orthogonaltransformationen ändern nicht die Lagebeziehung der Vektoren zueinander, d.h. es gilt:

$$\langle a|b\rangle =\langle a{A}^T|Ab\rangle \text{.}$$

Siehe auch: Orthogonalisierung