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Legendre'sches PolynomZoomA-Z

Fachgebiet - Mathematik

Die Legendre'schen Polynome Pn(x) sind partikuläre Lösungen der Legendre'schen Differenzialgleichung

(1x2)y2xy+n(n+1)y=0

und lassen sich durch die Gleichung (Rodiguez-Formel)

Pn(x)=12nn!dndxn[(x21)n]

darstellen.

Speziell lauten die ersten Legendre'schen Polynome:

P0(x)=1P1(x)=xP2(x)=12(3x21)
P3(x)=12(5x33x)P4(x)=18(35x430x2+3)

Im Intervall [1;1] bilden die Legendre'schen Polynome eine Orthogonalbasis, d.h. es gilt die Orthogonalitätsbeziehung:

Pn|Pm=11Pn(x)Pm(x)dx=22n+1δnm

mit dem Kronecker-Delta δij.

Siehe auch: Kugelflächenfunktion

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