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KugelflächenfunktionZoomA-Z

Fachgebiet - Quantenphysik

Kugelflächenfunktionen Ylm(ϑ,ϕ) sind Eigenfunktionen zum Winkelanteil des Laplace-Operators Δ(r,ϑ,ϕ) (Delta-Operator).

Da der Laplace-Operator Bestandteil des Hamilton-Operators H^ ist, beschreiben Kugelflächenfunktionen auch den Rotationsanteil der Eigenfunktionen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung.

In Ein-Elektronen-Näherung bilden die Kugelflächenfunktionen den Winkelanteil der Atomorbitale.

Die Kugelflächenfunktionen sind definiert als

Ylm(ϑ,ϕ)=12πNlmPlm(cosϑ)eimϕ

mit den Legendre-Polynomen

Plm(x)=(1)m2ll!(1x2)m(x)l+m(x21)l

und den Normierungsfaktoren

Nlm=2l+12(lm)!(l+m)!

Statt der komplexen Kugelflächenfunktionen Ylm(ϑ,ϕ) (auch als Kugelfunktionen bezeichnet) werden häufig lieber die reellen Kugelflächenfunktionen Slm(ϑ,ϕ) verwendet, die sich durch die Linearkombination

Slm(ϑ,ϕ)={12[Yl(m)(ϑ,ϕ)+Ylm(ϑ,ϕ)], für m>01i2[Yl(m)(ϑ,ϕ)Ylm(ϑ,ϕ)], für m<0

ergeben.

Die reellen Kugelflächenfunktionen sind ebenfalls Eigenfunktionen zum Laplace-Operator.

Siehe auch: starrer Rotator